1.2. Процедуры выбора при критериальном описании

Использование критериального языка позволяет формально задачу оптимизации записать в виде

, (1.1)

где х – вектор входных параметров; Х – область допустимых решений (ОДР); q(x) – вектор-функция частных критериев.

Обычно не существует такого набора входных параметров, при которых достигался бы оптимум одновременно всех критериев. В связи с этим возникает неопределенность в выборе оптимального решения, причем, в самой постановке задачи (1.1) отсутствует какая-либо дополнительная информация, позволяющая снять эту неопределенность. Поэтому основное назначение моделей и методов решения задач многокритериальной оптимизации – получение необходимой информации

- либо посредством более детального изучения объекта моделирования и формирования на этой основе какого-нибудь формального правила снятия неопределенности;

- либо с помощью опроса экспертов и использования их опыта и интуиции.

В этом плане можно выделить три подхода к решению данной задачи:

• применение скалярно-оптимизационного выбора;

• использование человеко-машинных процедур поиска;

• применение мажоритарных схем.

Скалярно-оптимизационный механизм выбора состоит в поиске решения, на котором достигается оптимум некоторой скалярной функции. При наличии нескольких критериев данный механизм подразумевает применение некоторого обобщенного (интегрального) критерия. При его синтезе могут использоваться априорный и апостериорный подходы.

С априорным подходом связаны, прежде всего, начальные шаги векторной оптимизации, когда для раскрытия неопределенности применялись простейшие свертки, казавшиеся достаточно разумными. В настоящее время подобный подход применяется крайне редко и имеет в основном вспомогательное либо теоретическое значение.

Определение 1.1. Сверткой вектора (матрицы, функции) называется некоторое выражение, содержащее определенную информацию о “сворачиваемом” объекте, но имеющее меньшую размерность.

Пример свертки – определитель дисперсионной матрицы коэффициентов уравнения регрессии, являющийся обобщенной дисперсией этих коэффициентов.

Обозначим F – обобщенный критерий. Будем считать, что в задаче (1.1) все частные критерии необходимо минимизировать. Тогда F также необходимо минимизировать. Можно отметить следующие априорные принципы формирования обобщенного критерия:

• суммарная эффективность: ;

• принцип Нэша: ;

• принцип гарантированного результата: ;

• принцип Гурвица: ; 0 <  < 1;

• минимум уклонения от идеальной точки z* по заданной норме, не использующей весов значимости критериев:

.

Апостериорные методы синтеза обобщенного критерия опираются, прежде всего, на понятие относительной важности критериев, величину которой оценивают соответствующие коэффициенты. Можно выделить два подхода к определению коэффициентов значимости частных критериев.

В методах 1-й группы коэффициенты назначаются непосредственно или получаются с помощью прямого сравнения критериев по важности. Результаты такого сравнения представляются либо в виде упорядочивания критериев (вида: самый важный критерий, второй по важности и т.д.), либо в виде матрицы парных сравнений.

Для всех способов 1-й группы понятие важности критериев формально не определено, эксперты исходят из своих интуитивных представлений.

В методах 2-й группы коэффициенты важности отыскиваются по информации о сравнении некоторых “контрольных” оценок по предпочтению, обычно искусственно сгенерированных. По результатам сравнений составляется система равенств и неравенств для обобщенного критерия с неизвестными весами.

Человеко-машинные процедуры.

Человеко-машинные процедуры (ЧМП) являются средством исследования ОДР, приводящим к желаемому выбору наилучшего решения. Они представляют собой процесс общения лица, принимающего решения (ЛПР) и компьютера. Этот процесс состоит из отдельных шагов, каждый из которых включает в себя фазу расчетов, выполняемых компьютером и фазу анализа выполняемого ЛПР. Основываясь на характере информации, получаемой от ЛПР на фазе анализа, а также на виде расчетов, выполняемых компьютером, эти процедуры можно разделить на три класса;

- методы сужения множества допустимых решений;

- методы сужения множества допустимых весовых векторов;

- методы продвижения к оптимальной точке.

Наиболее известной человеко-машинной процедурой первой группы является метод STEM [1], предназначенный для решения многокритериальных задач линейного программирования.

Мажоритарные схемы

Мажоритарная схема (МС) – это некоторое решающее правило, предназначенное для построения оценки сверху множества наилучших решений задачи. Можно выделить две группы МС: априорные и апостериорные.

Априорные схемы, называемые обычно принципом оптимальности, основаны на некотором простом аксиоматическом допущении и позволяют отсечь заведомо плохие решения. Для их задания весьма удобным является язык бинарных отношений.

Укажем основные принципы оптимальности, используемые в задачах векторной оптимизации (предполагается, что все критерии надо минимизировать):

- Парето: ;

- Слейтера: ;

- (p, s)-мажоритарный: ;

- лексикографии:

zRy 

Смысл отношения лексикографии состоит в отдании предпочтения альтернативе, лучшей по наиболее важному критерию с номером i₁. Если сравниваемые альтернативы одинаковы по значениям i₁-х координат, то сравнение производится по второму по важности критерию i₂ -му, и т.д.

В результате применения МС, реализующей какой-либо из указанных принципов оптимальности, выбираются решения, не доминируемые по соответствующему бинарному отношению никакой другой альтернативой, т.е. строится выбор С^R(X) согласно механизму блокировки по отношению R.

Априорные МС обладают сравнительно низкой избирательной способностью и позволяют отсечь лишь те решения, непригодность которых не вызывает сомнений. С другой стороны, данные схемы легко формализуются и могут применяться в автоматическом режиме расчетов без привлечения экспертов.

Апостериорные же схемы используют дополнительную информацию, полученную от экспертов, что существенно повышает их избирательность по сравнению с априорными МС, и, одновременно, лишает исследователя возможности организовать выбор чисто формальными средствами.

Поэтому наиболее популярным подходом к решению многокритериальных задач является двухэтапная схема. На первом этапе с помощью какой-нибудь из перечисленных априорных МС отсеиваются заведомо “плохие” варианты и строится множество неулучшаемых оценок, т.е. недоминируемых в смысле соответствующего бинарного отношения. На втором этапе происходит окончательный выбор с помощью какой-либо неформальной апостериорной процедуры.