1. Ортогональные планы

Def. План называется ортогональным, если его точки расположены так на _х, что столбцы матрицы Ф ортогональны.

Отметим основные свойства ортогональных планов.

1. Матрица (Ф^ТФ) диагональна.

Из этого вытекает диагональность и матрицы (Ф^ТФ) ^–1, а следовательно – независимость (некоррелированность) МНК-оценок. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину. Кроме того, диагональность матрицы (Ф^ТФ) существенно упрощает расчетные формулы нахождения МНК-оценок.

2. Ортогональный план минимизирует дисперсию МНК-оценок при плохой спецификации модели.

2. D- и G-оптимальные планы

Def. План называется D-оптимальным, если его точки расположены так на _х, что достигается max det(Ф^ТФ) (или, что то же самое, – min det (Ф^ТФ) ^–1).

Величина определителя матрицы С = ²(Ф^ТФ)^–1, согласно свойству 8 собственных значений матриц, характеризует “объем” доверительного эллипсоида МНК-оценок, а, следовательно, является обобщенной характеристикой дисперсий МНК-оценок. Поэтому свойство D-оптимальности плана экспериментов эквивалентно свойству устойчивости оценок коэффициентов модели (2.1), их близости к истинным значениям коэффициентов.

Def. План называется G-оптимальным, если его точки расположены так, что достигается минимум максимального по х_х значения дисперсии прогноза D[ (x)].

Для того, чтобы свойства D- и G-оптимальности зависели не от количества проведенных экспериментов, а только от выбранных точек, используется нормированная дисперсионная матрица МНК-оценок: N(Ф^ТФ) ^–1 и, соответственно, нормированная дисперсия прогноза:

d(x) = N f(x)^Т(Ф^ТФ) ^–1 f(x).

Обозначим d_max = max{d(x) | x _х} – максимальное значение нормированной дисперсии прогноза. Согласно определению, значение d_max должно быть минимальным, если план Р(_х) является G-оптимальным. Имеют место следующие свойства.

Теорема 5.3 (об эквивалентности оптимальных планов). Для любого плана следующие утверждения эквивалентны.

1) План является D-оптимальным.

2) План является G-оптимальным.

3) d_max = k, где k – число коэффициентов модели (2.1).

Эквивалентность пунктов 1) и 2) означает, что любой D-оптимальный план экспериментов является одновременно и G-оптимальным и наоборот. Пункт 3) указывает простой способ проверки качества любого плана по величине  = (d_max – k) / k. Для D- и G-оптимальных планов  = 0, для прочих планов  > 0.

Теорема 5.4 (об инвариантности D-оптимального плана). D-оптимальный план инвариантен относительно любого невырожденного линейного преобразования базисных функций f_j(x).

7. D-оптимальные и близкие к ним планы на гиперкубе

Достижение возможно большей точности модели связано с оптимальным использованием области планирования _х при проведении экспериментов. Поэтому при использовании критериев D- или G-оптимальности вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение ее конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.

Будем считать, что областью значений входных параметров объекта является гиперкуб: _х = [ –1, +1] ^m, т.е. х_j[ –1, +1], j = 1,…m. Для произвольного отрезка [ ] легко найти замену переменных, переводящую его в [ –1, +1]:

.

Согласно теореме 5.4, после такой замены план останется D-оптимальным.

7.1. Полный факторный план (ПФП) – это план, в котором каждый входной параметр принимает два значения: +1 и –1 и при этом перебираются все возможные комбинации. Число строк в матрице Х равно N =2^m. Рассмотрим основные свойства ПФП.

1. Столбцы матрицы Ф для линейной y = b₀ + b₁x₁ +…+ b_mx_m и неполной квадратичной y = b₀ + b₁x₁ +…+ b_mx_m + b₁₂ x₁ x₂ + b₁₃ x₁ x₃ + … + b_{m –1, m}   x_{m –1} x_m моделей в ПФП ортогональны, а, следовательно, матрица Ф^ТФ диагональна и равна NI_k.

Свойство легко проверяется.

2. Для линейной и неполной квадратичной моделей ПФП является D-оптимальным.