5. Анализ уравнения регрессии: остаточная дисперсия
Def. Остаточной дисперсией уравнения регрессии называется величина
,
равная среднему квадрату отклонения экспериментальных данных от расчетных (k – число коэффициентов модели (2.1)).
Теорема 2.2 (о несмещенногсти остаточной дисперсии). Если выполнены условия теоремы Гаусса-Маркова, то остаточная дисперсия является несмещенной оценкой параметра 2.
Следствие.
(ФTФ)–1
– несмещенная оценка.
6. МНК-прогноз
Пусть х –
фиксированный вектор входных параметров.
С помощью модели
(х)
=
можно предсказать каким в среднем будет
значение выходного параметра у при
входе х, т.е.
(х)
– прогноз выхода при заданном входе.
Так как МНК-оценки – случайные величины,
то
(х)
– тоже случайная величина, как и всякая
статистическая оценка. Ее дисперсия
характеризует среднюю точность прогноза.
Найдем D[
(х)]
и ее оценку.
Обозначим f(x) = [f1(x),…, fk(x)]Т – вектор базисных функций. Тогда (х) = fT(x) . Воспользуемся теоремой 1.2 о линейно зависимых векторах и (х), положив в ней А = fT(x).
D[ (х)] = fT(x) D[ ] f(x) = 2 fT(x) (ФT Ф)–1f(x).
Значит, согласно следствию их теоремы 2.2 об остаточной дисперсии
[
(х)]
=
fT(x)
(ФT
Ф)–1f(x).
Теорема 2.3 (об МНК-прогнозе). Если выполнены условия теоремы Гаусса-Маркова, то прогноз (х) является эффективной оценкой в классе линейных по у несмещенных оценок.
12 Вопрос
Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства.
Пример 5.3. Пусть объект имеет один входной параметр х. На рис. 5.1 цифрой 1 обозначена прямая, соответствующая истинной зависимости выхода от входа. Предположим, что в точках х1 и х2, расположенных вблизи средины области определения входного параметра, проведены эксперименты, но, вследствие ошибок, результаты, – точки у1 и у2, не лежат на линии 1. Построив по экспериментальным точкам уравнение эмпирической зависимости, получим прямую 2, которая, как видно на рисунке, значительно отличается от истинной зависимости.
Ошибка
эксперимента
Y
Y4
Y1
2
Y2
Y3
3
1
X2
X1 IШ
X4
Х3
X
Рис. 5.1. Пример
зависимости точности модели от выбора
экспериментальных точек
Пусть теперь эксперименты проведены в точках х3 и х4, расположенных по краям области определения входного параметра, с такой же величиной ошибок. По полученным точкам у3 и у4 построена зависимость, соответствующая прямой 3, которая, как видно из рисунка, значительно ближе к истинной линии, чем прямая 2.
Вывод: за счет рационального выбора экспериментальных точек можно значительно повысить точность создаваемой модели.
Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек, в некотором смысле оптимальных.
Def.
Пусть х
– область возможных значений входных
параметров объекта, которую назовем
областью планирования. Планом
эксперимента называется некоторое
подмножество Р(х)
х
точек, в которых проводятся эксперименты.
Обычно план задается матрицей значений
входных параметров в экспериментальных
точках Х=[
]
– матрицей планирования, i
=1,…N, j = 1,…,
m.
Рассмотрим три оптимизационных свойства планов эксперимента – ортогональность, D- и G-оптимальность.