Общая теория метода моментов

Большинство решений функциональных уравнений можно интерпретировать через проекции на подпространства функциональных пространств. Для вычислений эти подпространства должны обязательно быть конечномерными. Для теоретической работы они могут быть бесконечномерными.

Рассмотрим детерминированное уравнение

Lf=g,

(2.0)

где L – линейный оператор, g – известная функция, а f – искомая неизвестная функция. Пусть f представляется системой базисных функций {f₁, f₂, f₃, ... } в области L как линейная комбинация

,

(2.0)

где – искомые скаляры. Для приближённых решений ( 2 .0) является конечной суммой; для точных решений она является обычно бесконечной суммой. Подставляя ( 2 .0) в ( 2 .0) и используя линейность L, мы имеем

,

(2.0)

где равенство является обычно приближённым. Теперь зададим набор тестовых или весовых функций {w₁, w₂, w₃, ... } в области L. Возьмём скалярное произведение (обычно интегрирование) ( 2 .0) с каждым w_i и используем линейность этого скалярного произведения для получения

, i=1, 2, 3, ... .

(2.0)

Эту систему уравнений можно записать в матричном виде как

,

(2.0)

где [l] является матрицей

,

(2.0)

а и являются векторами-столбцами

;	(2.0)
.	(2.0)

Если [l] несингулярна, то существует её инверсия, и находится как

.

(2.0)

Решение для f теперь даётся посредством ( 2 .0). Для краткого обозначения зададим вектор-строку функций

.

(2.0)

Записав ( 2 .0) как и подставив  из ( 2 .0), получим решение

,

(2.0)

которое может быть приближённым или точным в зависимости от выбора базисных и тестовых функций.

Вычисление двумерным методом моментов

Известны приложение метода моментов к вычислению ёмкостной матрицы МПЛП [²⁵] и его развитие к случаю земляного проводника конечной протяжённости [Error: Reference source not found]. Но алгоритмы в этих работах изложены недостаточно подробно для их программной реализации. В работе [²⁶] в рамках единого подхода представлено вычисление ёмкостной матрицы МПЛП с конечным или бесконечным земляным проводником, как для двухмерного, так и для трёхмерного случаев. Кроме того, детально раскрыты теоретическая основа метода и получение вычислительных формул. Однако работа содержит большое число опечаток и неточностей, затрудняющих программную реализацию алгоритмов. Ниже приводится полный алгоритм вычисления с окончательными и проверенными формулами.

Пример системы МПЛП в многослойной диэлектрической среде показан на рис.  2 .6. Система однородна и бесконечна в направлении Z, перпендикулярном странице, а её поперечное сечение лежит в X-Y плоскости страницы. Поперечные сечения проводников считаются произвольными, а границы раздела диэлектриков параллельными оси координат X. Необходимо определить погонную ёмкостную матрицу системы.

Рис.Рисунок 2.6. Поперечное сечение МПЛП в многослойной диэлектрической среде: границы проводник–диэлектрик (—), границы диэлектрик–диэлектрик (----), плоскость земли (Y=0)

Для двумерного случая ij-й элемент искомой ёмкостной матрицы равен свободному заряду единицы длины поверхности i-го проводника, когда все проводники, кроме j-го, заземлены, а j-й проводник заряжен до потенциала один вольт. В свою очередь, свободный заряд единицы длины поверхности проводника равен интегралу свободного заряда единицы площади по пересечению поверхности этого проводника с плоскостью XY.

Все границы проводник–диэлектрик и диэлектрик–диэлектрик кусочно-линейно делятся на подынтервалы (отрезки), каждый из которых характеризуется параметрами: x_n – X координата центра подынтервала n; y_n – Y координата центра подынтервала n; d_n – длина подынтервала n; _n – угол, образуемый подынтервалом n с положительным направлением оси координат X; _n – абсолютная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, прилегающего к подынтервалу проводник–диэлектрик c номером n; _n⁺ и _n^– – абсолютные диэлектрические проницаемости диэлектриков над и под подынтервалом диэлектрик–диэлектрик с номером n. Эти параметры пояснены на рис.  2 .7.

Рис.Рисунок 2.7. Схема дискретизации границ в методе моментов

Сначала дискретизируются проводники. Если есть бесконечная плоскость земли, то она не дискретизируется. Если есть вторая бесконечная плоскость земли, то она ограничивается в точке, достаточно удалённой от проводников, и дискретизируется как обычный проводник, который считается всегда заземлённым. В случае конечных проводников земли все они дискретизируются как обычные проводники, которые также считаются всегда заземлёнными. Дискретизированные проводники нумеруются с 1 по N_C, где N_C – общее число проводников. Проводниковым подынтервалам присваиваются номера с 1 по N₁, где N₁ – общее число подынтервалов на границах проводник–диэлектрик. Номера первого и последнего подынтервалов каждого проводника присваиваются переменным Nf_i и Nl_i, i=1,…,N_C.

Диэлектрические границы дискретизируются с нижней до верхней, и диэлектрическим подынтервалам присваиваются номера с N₁+1 по N. Бесконечно протяжённые диэлектрические границы ограничиваются в точке, достаточно удалённой от проводников. Таким образом, имеется N₁ подынтервалов проводник–диэлектрик, (N–N₁) подынтервалов диэлектрик–диэлектрик и всего N подынтервалов.

Более частое расположение подынтервалов даёт более точное решение, но увеличивает порядок матрицы S и время вычисления. Длины подынтервалов на границе для простоты их вычисления могут выбираться одинаковыми (равномерная дискретизация). Однако выбор длин подынтервалов обратно пропорциональными предполагаемой плотности заряда на границе (меньшая длина подынтервалов вблизи стыков границ) даёт более точное решение.

Исходя из параметров каждого подынтервала, вычисляются элементы S_mn матрицы S, структура которой показана на рис.  2 .8.

Рис.Рисунок 2.8. Структура матрицы S

Ниже приводятся формулы для вычисления элементов матрицы S.

, где
	(2.0)
	(2.0)
	(2.0)
.	(2.0)
, mn,
, где
где при a=0,
при a0,
,

a₁, b₁, a₂, b₂ определяются по ( 2 .0) – ( 2 .0), коэффициент iflg равен единице в случае с бесконечной плоскостью земли и равен нулю без неё.

В случае отсутствия бесконечной плоскости земли к матрице S добавляется (N+1)-й столбец и (N+1)-я строка, ненулевые элементы которых вычисляются по следующим формулам:

, где n=1,…,N1,
, где n=1,…,N1.

В результате собранные воедино элементы S_mn образуют квадратную матрицу S, связывающую плотности заряда подынтервалов на проводниках и диэлектрических границах, составляющих вектор ^( j), с потенциалами этих подынтервалов, составляющих вектор V^( j), и задача окончательно представляется в виде матричного уравнения

S ( j) = V( j),

которое решается N_C раз. Верхний индекс ( j) обозначает распределение плотности заряда ^( j), полученное в результате j-го решения этого уравнения при векторе потенциалов V^( j), состоящем из единиц для подынтервалов, соответствующих j-му проводнику, и нулей в остальных элементах вектора.

Наконец, определяются элементы ёмкостной матрицы:

, i,j=1,…,NC,

где индекс i относится к проводнику, по поверхности которого производится суммирование, а индекс j над плотностью заряда означает распределение плотности заряда, когда j-й проводник находился под потенциалом одного вольта, а все остальные – под потенциалом нуля.

Матрица [L] равна произведению ₀, ₀ и обращённой матрицы [C], определённой по этому же алгоритму, но при относительной диэлектрической проницаемости каждого диэлектрика, равном обратному значению его относительной магнитной проницаемости.