2.1.3.Вариационный метод

Методы, использующие минимизацию общей энергии системы проводников, успешно применяются для вычисления электрических параметров определённых конфигураций МПЛП и называются вариационными. На их основе получены несложные и быстрые алгоритмы вычисления электрической ёмкости, которые позволяют оценить и оптимизировать параметры различных межсоединений.

Вариационный метод для одиночных линий

Более общими конфигурациями являются одиночные подвешенная и обращённая полосковые линии передачи в трёхслойной диэлектрической среде. Одним из наиболее эффективных для исследования таких линий зарекомендовало себя выведенное посредством решения уравнения Лапласа в спектральной области [Error: Reference source not found] выражение для погонной ёмкости полоски, расположенной на одной из диэлектрических границ трёхслойного диэлектрика между двумя плоскостями земли (рис.  2 .4, а). Частные случаи рис.  2 .4, а (когда толщина диэлектрического слоя у одной из плоскостей земли стремится к бесконечности, и его относительная диэлектрическая проницаемость равна единице) показаны на рис.  2 .4, б,в (где _r и h с индексами обозначают относительные диэлектрические проницаемости и толщины соответствующих диэлектрических слоёв). Линии, в которых в качестве изолирующего слоя между подложкой и плоскостью земли служит материал с отличной от воздуха диэлектрической проницаемостью, называют подвешенной полосковой линией (ППЛ) и обращенной полосковой линией (ОПЛ). В случае изолирующего слоя из воздуха они становятся, соответственно, ПМПЛ и ОМПЛ. Ниже приводится вычисление для этих линий [Error: Reference source not found, ¹⁷].

Рис. Рисунок 2.4. Линии передачи в трёхслойной диэлектрической среде

Волновое сопротивление Z и эффективная относительная диэлектрическая проницаемость _re линии определяются через её погонные ёмкости

, re=C/C0 ,

где v₀ – скорость света в вакууме; C и C₀ – погонные ёмкости линии при заданных диэлектриках и в воздухе, вычисляемые как

,

где ₀ – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума;

для ППЛ, для ОПЛ.

Вариационный метод для пары связанных линий

Следующей по степени сложности конфигурацией является пара связанных линий в среде из нескольких слоёв различных диэлектриков (рис.  2 .5). Для этого случая подход, предложенный для одиночной линии [Error: Reference source not found], развит для вычисления верхней и нижней границ истинного значения погонных ёмкостей чётной и нечётной мод линий в слоистой среде [¹⁸]. Поскольку необходимо вычислить погонную ёмкость для двух мод с распределением плотности заряда в полосках, существенно различающимся, как друг от друга, так и от случая одиночной линии, вычислительные формулы и их получение оказываются гораздо сложнее. Плотности заряда для чётной и нечётной мод разлагаются в различные степенные ряды, а коэффициенты разложения при учитываемых степенях находятся посредством процедуры Релея-Рица и решения системы линейных алгебраических уравнений.

Рис.Рисунок 2.5. Связанные подвешенные полосковые линии (а) и связанные обращённые полосковые линии (б)

Окончательные формулы для вычисления нижней границы погонных ёмкостей чётной и нечётной мод и соответствующих характеристик выглядят следующим образом.

Волновые сопротивления Z_e,o и эффективные относительные диэлектрические проницаемости (_ree и _reo ) линии для чётной (индекс «e») и нечётной (индекс «o») мод и коэффициенты ёмкостной и индуктивной связи определяются через погонные ёмкости

, ,

, , где

v₀ – скорость света в вакууме; C_e,o и С_0e,o – погонные ёмкости линии (для нечётной и чётной мод) при заданных диэлектриках и в воздухе, вычисляемые как

,

где ₀ – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума;

;

;

a_i – коэффициенты разложения, получаемые решением системы линейных алгебраических уравнений

i=1,…,M, где

, i,j=1,…,M,

где g() определяется формулами для соответствующих линий из предыдущего подраздела;

,

,

i=1,…,M (для чётной моды);

,

i=1,…,M (для нечётной моды); M – число учитываемых членов разложения функций, описывающих плотность поверхностного заряда. Увеличение М позволяет вычислить значения ёмкостей с большей точностью, но, как показали вычисления работы [Error: Reference source not found], реальные значения, дающие достаточную точность, сводятся к М=2, 3.