2.1.4.Метод моментов Истоки и разработка метода моментов для вычисления поля

Одной из трудностей при анализе работ, посвящённых вычислению параметров МПЛП, является необходимость глубокого понимания теоретической подоплёки рассматриваемых алгоритмов и их взаимосвязей при разнообразной терминологии разных авторов. При анализе метода моментов эта проблема становится особенно острой.

Наиболее действенным подспорьем в преодолении этих трудностей является знакомство с работами опытных авторов, стоящих у истоков этих методов или творчески развивающих их для конкретных приложений. Весьма полезна для понимания метода моментов небольшая статья крупного учёного, внесшего существенный вклад в развитие этого метода, Роджера Харрингтона [¹⁹]. В работе приводится краткая история развития математических методов, связанных с методом моментов и используемых для вычисления электромагнитного поля, затем даётся краткое описание общей теории с акцентом на различные точки зрения, которые приводят к разным названиям этого метода, а также показываются его взаимосвязи с вариационным методом Рэлея-Ритца и с методом возмущений. Приведём здесь некоторые положения этой статьи, отметив, прежде изложения, огромное влияние работ наших отечественных учёных, признанное самим Харрингтоном.

По мнению автора статьи, показавшего в ней, что большинство методов решения можно интерпретировать через метод моментов, невозможно сказать точно, когда именно он начался. Численные методы и вариационные методы уходят ещё к временам Максвелла. Основная идея взять линейное функциональное уравнение и представить его линейным матричным уравнением также относительно стара. Галеркин, русский инженер–механик, разработал свой метод около 1915 года, ещё до того, как Гильберт тщательно математически обосновал использование проекций из пространства бесконечномерной функции на конечномерное подпространство. Квантовая механика, развитая в 1920-х, использовала многие идеи из линейных пространств и их распространение на пространства Гильберта. Однако, до появления быстродействующих компьютеров эти методы не пользовались популярностью из-за утомительных вычислений, требуемых для их применения. К ним часто относились как к используемым лишь в последнюю очередь численным методам, к которым обращались только, если всё остальное исчерпало себя. В свою очередь, однако, они не более численные, чем иные, так называемые аналитические методы, по крайней мере, если грамотно применяются. Они просто делают акцент на другой аспект математики – аспект линейных пространств и ортогональных проекций.

Когда, по словам Харрингтона, в начале 1960-х он читал курс по применению линейных пространств для прикладной математики, используя книгу Фридмана [²⁰], а также изучал русскую книгу Канторовича и Крылова [²¹], когда она появилась в английском переводе, для него стало очевидным, что метод Галеркина был формально эквивалентен вариационному методу Рэлея-Ритца. Не было веской причины выбирать базисную и тестовую функцию одинаковыми, как делалось и в методе Галеркина, и в вариационном методе Релея-Ритца. Когда они были одинаковыми, легче было доказать математические теоремы, но вычисление решений давалось труднее. Для удобства вычислений базисную и тестовую функцию можно было выбрать разными и, по-прежнему, утверждать, что решение было по форме стационарным.

Когда стал вопрос, как назвать этот общий метод, Харрингтон, понимая, что другие использовали его в прошлом, не стал вводить новый термин. После поиска литературы он решил, что самым близким аналогом того, что он использовал, было изложение, данное Канторовичем и Акиловым [²²]. Они назвали это «метод моментов», и именно это стало названием, которое выбрал Харрингтон для метода, рассмотренного им в статье «Матричные методы для задач поля» [²³], развитие которой вылилось в монографию «Вычисление поля методом моментов» [²⁴]. С тех пор общий метод моментов вошел в широкое применение для практических задач технической электродинамики.