Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Групповой подход к геометрии.
Группа аффинных преобразований.
Теорема: Множество аффинных преобразований плоскости образуют группу.
Доказательство:
Пусть
задано множество аффинных преобразований
и
композиция двух аффинных преобразований
.
,
—
аффинное.
П
о
определению точки не меняют своих
координат в соответствующих реперах.
Композиция двух аффинных преобразований
есть аффинное преобразование, т.е.
операция замкнута на множестве А.
а)
—
нейтральный элемент.
.
б) преобразование, обратное к аффинному также есть аффинное преобразование.
в)
г)
группа не является коммутативной т.к.
есть примеры того, что два аффинных
преобразования дают не коммутативную
композицию. Например:
Подгруппа группы аффинных преобразований.
Теорема: Множество движений плоскости есть подгруппа группы аффинных преобразований.
Доказательство:
1 типа: Любое движение есть аффинное преобразование аналогично.
группа
гомотетий
группа
подобий
Аффинные преобразования в координатах.
Найдем
координаты задания аффинных преобразований
в одном репере. Пусть задан репер
:
—
аффинное преобразование и пусть новый
репер задан в старом.
,
где матрица преобразования
невырожденная.
формула перехода.
В
координатном виде аффинное преобразование
это линейное преобразование вида
,
где обязательно
(*)
или rang
матрицы преобразований равен 2.
Иногда аффинные преобразования определяются следующим образом. Всякое преобразование плоскости, которое может быть задано формулой вида (*) называется аффинным.
Задание: все теоремы доказать на языке координат.
Пример:
Доказать:
Воспользуемся обратным преобразованием, которое аналогично
Групповой подход к геометрии. Применение многомерных пространств
Определение. Центроаффинным преобразованием с центром S называется аффинное преобразование оставляющее неподвижной точку S.
Теорема 123. Каждая из множеств всех: аффинных преобразований, центроаффинных преобразований, преобразование движения, образуют группу.
Во второй половине XIX века немецкий математик Феликс Клей определил геометрию, как науку о свойствах фигур, которые остаются неизменными при преобразованиях некоторой группы.
Каждой группе преобразований соответствует своя геометрия, следовательно в зависимости от разных преобразований, можно построить много разных геометрий.
Пример.
1. Группа аффинных преобразований соответствует аффинной геометрии, изучающей свойства фигур неизменных при аффинном преобразовании.
2. Группа центроаффинного преобразования, соответствует центроаффинной геометрии.
3. Группе движений соответствует евклидова геометрия.
Для
пространств
и
эта
геометрия совпадает с элементарной
геометрией, изучающейся в средней школе
(точнее, элементарная геометрия,
объединяет геометрии соответствующие
группе движения и группе подобия).
Можно также рассматривать геометрию, изучающую свойства фигур, которые не меняются при следующих преобразованиях.
1. Вращение (поворот).
Рис. 1
2. Параллельный перенос.
Рис.2
3. Осевая симметрия.
Рис.3
4. Скользящая симметрия.
Рис.4
И т.д.
Замечание. Свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы, сохраняются в частности и при преобразованиях некоторой ее подгруппы. Обратное же неверно: свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях подгруппы (поворот) необязательно сохраняются при преобразованиях всей группы (движения).
Вывод. Геометрия, соответствующая подгруппе чаще всего «богаче» по содержанию, чем геометрия всей группы (евклидова геометрия богаче, чем аффинная геометрия).
Схема подгрупп различных групп описанных выше геометрии
Замечание. Чем ниже находится группа в данной схеме, тем «богаче» ее геометрия.
Пример. Теорема Пифагора справедлива в школьной геометрии, но она не выполняется в аффинной геометрии.
Многомерные пространства могут быть применены в различных областях науки.
Пример
1.
Рассмотрим
сеть проводников постоянного тока,
состоящую из n
однородных проволок с силой тока в них
соответственно
,
тогда состояние системы в любой момент
времени – точка n-мерного
евклидового пространства.
Начало
координат точка O(
),
соответствует состоянию системы без
тока. Расстояние от
(
)
от точки O
есть:
,
последнее означает количество теплоты
выделяемой данной системой проводников.
Пример 2. Следующие величины могут быть рассмотрены как координаты точек n-мерного пространства.
а)
(ct,
)
– координаты точки в четырехмерном
пространстве, здесь c
– скорость света, t
– время,
-
координаты объекта.
б) в качестве координат используют три цвета электронно-лучевой трубки (синий, зеленый, красный) – трехмерное пространство.
в) состояние вещества в замкнутом сосуде – две величины (давление, температура).