31. Группа движений плоскости и ее подгруппы
Каждое движение плоскости сохраняет расстояние по определению. Любой вид движений имеет свои инварианты можно рассматривать группу свойств движений.
Теорема:
Множество
движений плоскости
с
заданной композицией является группой,
причем группой аддитивности.
Доказательство:
1. Докажем, что композиция двух движений есть движение:
Пусть
и
—
движение (
)
—
преобразование. Рассмотрим образы любых
двух точек при каждом движении.
т.е. 
Доказать:
.
Действительно,
т.к.
—
движение, следовательно
.
—
тоже движение. Следовательно,
.
Следовательно,
.
Следовательно,
—
движение (
).
—
расстояние между точками
—
(отношение)
.
2. Докажем, что ассоциативность композиции раннее доказано, что композиция преобразования ассоциативна. Осталось доказать, что этим свойством в частности, обладает и движение.
Действительно,
если рассмотреть образы двух точек
и
,
то очевидно, что расстояние между ними
не изменится, если выполнить преобразование
или
.
3.
Покажем, что на множестве
существует
нейтральный элемент:
—
нейтральный элемент: тождественное
преобразование
.
4.
Для любого
существует
такой,
что
.
Действительно для любого
существует
симметричный элемент. Для
;
;
—
сама является для себя симметричным
элементом, т.к.
.
Такие преобразования называются
инвариантными
.
Группа движений плоскости имеет подгруппа.
Теорема 2: Множество параллельных переносов плоскости есть подгруппа движений причем группа Абелева.
Доказательство:
—
группа.
Способы
задания: любым вектором
;
направлением и расстоянием; парой
соответствующих точек
;
в координатах
1.
Компоненты двух переносов есть перенос
—
переносы. Рассмотрим
.
Композиция двух переносов — это перенос
на сумму векторов, а сумма векторов это
вектор, следовательно композиция
переносов это перенос, Можно рассуждать
иначе, в координатах
—
первый перенос
—
параллельный
перенос.
2. Ассоциативность:
—
переносы.
Рассмотрим
3.
Существует
4.
Для любого
существует
:
Теорема 3: Множество поворотов с общим центром есть подгруппа группы движений причем группа Абелева.
Д
оказательство:
Рассмотрим композицию двух поворотов
с общим центром.
.
Докажем, что компоненты двух поворотов
с общим есть поворот с тем же центром
на сумму углов.
32. Преобразование подобия
Преобразование подобия
Если
при преобразовании фигуры F в фигуру F`
расстояние между точками изменяется в
одно и тоже число раз, то такое
преобразование называется преобразованием
подобия. Т.е. произвольные точки AB фигуры
F переходят в точки A`B` фигуры F`, так что
A`B` =k*AB. Число k – это коэффициент подобия.
Преобразование фигуры Fназываетсяпреобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е.для любых точекX и Yфигуры Fи точек X’, Y’ фигурыF’, в которые он переходят,X’Y’= k * XY.
Свойства подобия: 1.Подобие переводит прямые в прямые,полупрямые– в полупрямые,отрезки – в отрезки.