54. Аффинное -мерное пространство

Если в обычном трехмерном пространстве выбрана система координат Oxyz , то каждая точка этого пространства отождествлялась с тройкой чисел -- координатами вектора . Аналогично мы можем считать, что набор из чисел является точкой -мерного пространства и рассматривать этот набор как координаты радиус-вектора этой точки. Такое -мерное пространство в отличие от векторного называется аффинным -мерным пространством. За начало координат принимается точка . За единичные векторы на осях координат в этом случае принимаются радиус-векторы точек

Любым двум точкам и аффинного пространства можно сопоставить вектор из -мерного линейного пространства. Для получения координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала.

Пример 18.6 Пусть , -- точки четырехмерного пространства. Тогда вектор имеет координатный столбец .

Параллельный перенос осей координат осуществляется по формулам, аналогичным (13.21). Пусть точка , являющаяся началом новой системы координат, имеет координаты . Пусть -- некоторая точка пространства с координатами в старой системе координат и в новой системе координат. Тогда связь между старыми и новыми координатами задается формулами

В трехмерном пространстве уравнение задает плоскость. Аналогично в -мерном пространстве уравнение

где -- числа, задает плоскость размерности , обычно ее называют гиперплоскостью. В трехмерном пространстве система из двух уравнений задает прямую. В -мерном пространстве система

из уравнений, , задает плоскость размерности , если ранг матрицы системы равен .

Если для векторов задано скалярное произведение формулой (18.3), то в аффинном пространстве можно определять расстояние между точками. Пусть , -- точки пространства, тогда расстояние между ними

В соответствии с этим говорят, что уравнение

задает в -мерном вещественном пространстве -мерную сферу, а неравенство

задает -мерный шар радиуса с центром в начале координат. В аффинном -мерном пространстве можно рассматривать поверхности второго порядка. Их типов оказывается тоже конечное число.

Можно рассматривать множество точек, задаваемых уравнением . При некоторых ограничениях на функцию , это уравнение будет определять -мерную поверхность (гиперповерхность), а неравенство -- область в -мерном аффинном пространстве.