Модель, основанная на нечетких знаниях Основы теории нечетких множеств Нечеткие знания

Знания не всегда могут быть описаны точно - часто встречаются так называемые "нечеткие" знания. При попытке формализовать человеческие знания исследователи вскоре столкнулись с проблемой, затруднявшей использование традиционного математического аппарата для их описания. Существует целый класс описаний, оперирующих качественными характеристиками объектов: много, мало, сильный, очень сильный и т.п. Эти характеристики обычно размыты и не могут быть однозначно интерпретированы, однако содержат важную информацию, например, "Одним из возможных признаков клещевого энцефалита является высокая температура".

Кроме того, в задачах, решаемых интеллектуальными системами, часто приходится пользоваться неточными знаниями, которые не могут быть интерпретированы как полностью истинные или ложные. Существуют знания, достоверность которых выражается некоторой промежуточной цифрой, например 0,7.

Основные понятия нечетких множеств

Для представления размытых (нечетких) знаний в начале 70-х американский математик Лотфи Заде предложил формальный аппарат нечеткой алгебры и нечеткой логики (L.A.Zadeh, Fuzzy Sets, Information and Control, 8(1965) 338-353).

В основе теории Л. Заде лежит субъективный факт - субъективные представления о цели всегда нечетки. Но он делает и следующий шаг - полагает, что все оценки субъекта и ограничения, с которыми он работает, так же, как правило, нечетки, а иногда и вообще лишены в своем начальном виде количественных характеристик. Л. Заде ввел одно из главных понятий в нечеткой логике - понятие лингвистической переменной.

Лингвистическая переменная - переменная, значение которой определяется набором словесных характеристик некоторого свойства. Например, лингвистическая переменная "скорость" определяется через набор {очень маленькая; низкая; средняя; высокая; очень высокая}.

Значение лингвистической переменной определяются через нечеткие множества, которые в свою очередь определены на некотором базовом множестве значений или базовой числовой шкале, имеющей размерность. Каждое значение лингвистической переменной определяется как нечеткое множество.

Пусть X - непустое множество. Нечеткое множество A в X характеризуется его функцией принадлежности (1).

m_А: X®Х[0;1] (1)

и m_А интерпретируется как степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A для каждого xÎX. Таким образом, нечеткое множество B –совокупность пар вида .

Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответствует определяемому нечеткому множеству.

Функция принадлежности интерпретируется как степень принадлежности элемента X нечеткому множеству A для любого xÎX.

Если X={x₁,…x_n} есть конечное множество и A - нечеткое множество в X, тогда мы используем запись A= m₁/x₁+m₂/x₂ +_…+m_n/x_n.

Где член m_i/x_i, i=1,...n означает, что m_i есть степень принадлежности x_i в A и знак суммы представляет объединение.

Пример 1. Предположим, что мы хотим определить множество натуральных чисел «близких к единице». Это может быть выражено следующим образом: A=0,0/-2+0,3/-1+0,6/0+1/1+0,6/2+0,3/3+0,0/4.)

Г рафически множество натуральных чисел «близких к единице» представлено на рис. 7.

Рис. 7. Дискретная функция принадлежности для «х близко к 1»

Пример 2.

Функция принадлежности нечеткого множества действительных чисел «близких к 1» может быть определена как A(t)=exp(-b(t-1)²), где b-положительное действительное число (рис. 8).

Р ис. 8. Непрерывная функция принадлежности для «х близко к 1».

Пример 3. Предположим, что покупатель желает купить дешевый автомобиль (рис. 9). «Дешевый» может быть представлено как нечеткое множество на универсуме цен и зависит от кошелька покупателя. Например, «дешевый автомобиль» приблизительно интерпретируется следующим образом:

Ниже 100000 руб. автомобиль считается дешевым и различие цен на покупательский взгляд несущественно.

Между 100000 и 200000 руб. изменение в цене склоняет к нерешительному предпочтению в пользу более дешевого автомобиля.

Между 200000 и 300000 руб. малые отклонения в цене выглядят явно предпочтительнее в пользу более дешевого автомобиля.

Выше 300000 руб. стоимость слишком высока.

Р ис. 9. Функция принадлежности “дешевый автомобиль”

Нечеткое подмножество A классического множества X называется нормальным, если существует xÎX такой, что A(x)=1.

Во многих случаях люди могут охарактеризовать численную информацию только приблизительно. Например, человек использует такие выражения, как «около 5000», «близко к нулю», «существенно больше 5000». Это примеры того, что называют нечеткими числами. Используя теорию нечетких множеств, мы можем представить такие нечеткие числа как нечеткие подмножества множества действительных чисел.

Нечеткое множество A называется триангулярным нечетким числом с вершиной (или центром) a, шириной слева a > 0 и шириной справа a > 0, если его функция принадлежности имеет следующий вид:

Триангулярное нечеткое число с центром a можно понимать как нечеткую величину «x приблизительно равен a» (рис. 10).

Р ис. 10. Триангулярное нечеткое число

Нечеткое множество A называется трапецеидальным нечетким числом с интервалом допуска [a,b], левой шириной a и правой шириной b, если его функция принадлежности имеет вид:

.

Трапецеидальное нечеткое число можно понимать как нечеткую величину «x приблизительно находится в интервале [a,b] » (рис. 11).

Пусть A и B –нечеткие подмножества классического множества X. Мы говорим, что A есть подмножество B, если A(t) ≤ B(t), " tÎ X (Рис. 12).

Р ис. 12. A есть подмножество B

Пусть A – нечеткое число. Если sup(A)={x₀}, то A называется нечеткой точкой, и мы используем обозначение A =`x₀.

Расширим операции над классическими множествами из теории обычных множеств на нечеткие множества. Все эти операции, которые являются расширением четких понятий, сводятся к их обычному пониманию, когда нечеткие подмножества имеют степени принадлежности из {0,1}. Поэтому, распространяя операции на нечеткие множества, мы используем те же символы, что и в теории множеств.

Пусть A и B – нечеткие подмножества непустого (четкого) множества X. Пересечение A и B определяется следующим образом (рис.13):

(AÇB)(t)=min{ A(t), B(t) }= A(t)ÙB(t), tÎ X.

Пример 4. Пусть A и B - нечеткие подмножества X={-2,-1,0,1,2,3,4}.

A=0.6/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.4/4. B=0.1/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.2/4.

Т огда AÇB имеет следующий вид: AÇB=0.1/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.2/4.

Рис. 13. Пересечение двух триангулярных нечетких чисел.

Объединение A и B определяется как (рис.14)

(AÈB)(t)=max{ A(t), B(t) }= A(t)Ú B(t) tÎ X.

Пример 5. Пусть A и B –нечеткие подмножества X={-2,-1,0,1,2,3,4}.

A=0.6/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.4/4. B=0.1/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.2/4.

Тогда AÈB имеет следующий вид: AÈB=0.6/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.4/4.

Р ис. 14. Объединение двух триангулярных нечетких чисел

Дополнение нечеткого множества A определяется как (^ØA)(t)=1- A(t).

Для операций с нечеткими знаниями, выраженными при помощи лингвистических переменных, существует много различных способов. Эти способы являются в основном эвристиками. Усиление или ослабление лингвистических понятий достигается введением специальных квантификаторов. Для вывода на нечетких множествах используются специальные отношения и операции над ними.