Нечеткие импликации

Рассмотрим утверждение импликации «если давление высокое, то объем малый».

Функция принадлежности нечеткого множества A «большое давление», показанная на рисунке 15, может быть интерпретирована как

.

а) 1 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0.

б) 2 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,25.

в) 4 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,75.

г) u5 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 1.

Р ис. 15. Функция принадлежности нечеткого множества «большое давление»

Функция принадлежности нечеткого множества B «малый объем» показана на рисунке 16 и может быть интерпретирована как

.

а) 5 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0.

б) 4 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,25.

в) 2 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,75.

г) 1 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 1, для всех v1.

Р ис. 16. Функция принадлежности нечеткого множества «малый объем».

Если p - логическое высказывание вида «x есть A», где A - нечеткое множество, например «большое давление», и g есть пропозиция вида «y есть B», где B - нечеткое множество, например «малый объем», то мы определяем нечеткую импликацию A→B как нечеткое отношение.

(A→B)(u,v) зависит только от A(u) и B(v). То есть (A→B)(u,v)=I(A(u), B(v))=A(u) →B(v).

В этой интерпретации A(u) рассматривается как значение истинности пропозиции «u -большое давление», и B(v) рассматривается как значение истинности пропозиции «v-малый объем», то есть

«u -большое давление» →«v-малый объем»  A(u) →B(v).

Более главное расширение оператора материальной импликации может быть получено в виде:

.

Этот оператор называется импликацией Гёделя.

Другой возможностью является расширение первоначального определения . Так как нечеткая импликация может быть записана в виде A(u)→B(v)=max{1 - A(u), B(v)}. Этот оператор называется импликацией Клини-Динса.

Часто на практике используют оператор импликации Мамдани, для того чтобы моделировать причинные отношения между нечеткими переменными. Этот оператор выбирает наименьшее из значений истинности предикатов: A→B=min{A(u), B(v)}. Легко видеть, что это расширение материальной импликации некорректно, потому что 0→0 дает ноль. Однако в прикладных системах искусственного интеллекта обычно не интересуются правилами, в которых априорная часть ложная.

Операторы импликаций

Импликацией Гёделя: .

Импликация Клини-Динса: A(u)→B(v)=max{1 - A(u), B(v)}.

Импликация Ларсена: .

Импликация Лукасевича: .

Импликация Мамдани: .

Импликация Гайнеса .

Модификаторы

Пусть A – нечеткое множество в X. Тогда мы можем определить нечеткие множества «очень A» и «более или менее A» следующим образом , .

Использование нечетких множеств дает основу для метода манипуляции неопределенными и неточными понятиями.

В частности, мы можем применить нечеткие множества для представления лингвистических переменных.

На рис.17 показано изменение нечеткого множества «высокий человек» с помощью модификаторов: «очень высокий человек», «не очень высокий человек».

Не очень высокий человек

Рис. 17. Применение модификаторов

Лингвистические переменные могут рассматриваться или как переменные, значения которых являются нечеткими числами или как переменные, значения которых определяется в лингвистических термах.

Таким образом, лингвистические переменные характеризуются пятеркой (x, T(x),U,G,M) в которой

x- имя переменной;

T(x) - множество термов x, те есть множество имен лингвистических переменных величин x, каждое значение которой есть нечеткое число, определенное на U;

G- синтаксическое правило для выработки имен величин x;

M- семантическое правило для связывания каждой величины с её смыслом.

Пример 6.

Лингвистическая переменная «Скорость» может быть определена через множество термов:

T(скорость)={медленно, умеренно, быстро}, где каждый терм характеризуется нечетким множеством в множестве U=[0,100].

Можно интерпретировать «медленно» как «скорость менее 40 километров в час»; «умеренно» как «скорость близкая к 55 километров в час»; и «быстро» как «скорость более 70 километров в час».

Э ти термы определяются через нечеткие множества, функции принадлежности которых показаны на рисунке 18.

Рис. 18. Лингвистическая переменная «скорость».