1.3 Оптимизация режимов резания как пример параметрической оптимизации

Методы параметрической оптимизации позволяют найти оптимальное решение в так называемых расчетных задачах. Одной из таких задач является оптимизация режимов резания.

Рассмотрим построение математической модели для оптимизации режимов резания при одноинструментальной токарной обработке. Необходимо найти n=2 параметров оптимизации (частота вращения шпинделя и рабочая подача), которые должны удовлетворять системе ограничений, а также обеспечивать получение экстремума целевой функции.

В качестве критерия оптимизации выбираем основное время t_o. Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом:

,

где L_р – расчетная длина обработки. Поскольку она не зависит от оптимизируемых параметров, целевую функцию можно выразить так:

Для упрощения задачи выделим десять ограничений: по кинематике станка (наибольшие и наименьшие допустимые значения подач и частот вращения шпинделя), по стойкости, по шероховатости, а также ограничения, зависящие от сил резания (по мощности станка, по прочности механизма подач, по прочности державки резца, по жесткости режущего инструмента). Тогда система ограничений будет записана следующим образом:

Ограничения по кинематике станка: n  n_min, n  n_max, S  S_min, S  S_max – это простые линейные зависимости. Остальные ограничения носят нелинейный характер.

Ограничение по стойкости (k=5). Скорость резания ограничена стойкостью режущего инструмента

.

После подстановки получим условия, при которых стойкость инструмента будет не меньше нормативной стойкости Т_н:

Ограничение по шероховатости (k=6). Величина подачи, ограничиваемой требованиями к шероховатости обработанной поверхности, зависит от геометрии инструмента и определяется эмпирическими зависимостями. Эти зависимости дают весьма приблизительное значение подачи, поэтому ограничение по шероховатости может быть задано табличным значением S_шт, исходя из заданной шероховатости поверхности детали SS_шт.

Таблицы значений шероховатости имеются в справочнике технолога-машиностроителя.

Ограничение по мощности станка (k=7). Эффективная мощность станка после подстановки тангенциальной силы резания как функции от S и n выглядит следующим образом:

Подставляя и преобразовывая относительно n и S, получаем выражение:

Ограничение по прочности механизма подач станка (k=8). Сила, действующая на механизм подач станка, с учетом сил трения выражается как Р_х0,4Р_z и не должна превышать усилие , которое указано в паспорте станка.

После подстановки , и дальнейшего преобразования получаем

.

Ограничение по прочности державки резца (k=9). Это ограничение актуально при черновой обработке, когда снимается достаточно большой припуск. Напряжения в месте закрепления резца  не должны превышать допустимого значения при изгибе [_н]:

,

где l – вылет резца, мм;

В – ширина державки резца, мм;

Н – высота державки резца, мм;

После подстановки , и дальнейшего преобразования получаем

.

Ограничение по жесткости режущего инструмента (k=10). Поскольку резец представляет собой консольно закрепленную балку, то перемещение его вершины под действием силы Р_z определяется по формуле

,

где Е –модуль упругости материала державки резца, МПа;

J – момент инерции сечения державки резца, равный .

После подстановки , и дальнейшего преобразования получаем

.

Поскольку правые части рассмотренных ограничений являются постоянными, они могут быть обозначены буквой С_i с соответствующим индексом.

Объединяя все полученные неравенства в систему, получаем математическую модель процесса обработки:

Система ограничений (неравенств) определяет область допустимых значений режимов резания, как показано на рисунке 1.1. Задача оптимизации будет решена после того, как в этой области будет найдена такая точка (n, S), для которой выбранный критерий оптимизации имеет экстремальное значение (в данном случае это минимальное основное время).

В данном случае часть ограничений и функция цели являются нелинейными, что затрудняет решение задачи, поскольку требует применения методов нелинейного программирования. Однако можно привести эти зависимости к линейному виду с помощью логарифмирования, как показано на рисунке 1.2.

Обозначим , .

Тогда целевая функция имеет вид .

Система ограничений будет выглядеть следующим образом: