Приклад виконання завдання 1 до теми 2.1.2.

Метод послідовного виключення складових доцільно застосовувати у випадку, коли на основі попередніх досліджень приблизно відомо якісний характер впливу кожної з незалежних змінних (вхідних параметрів) на досліджувану функцію у.

Тоді в задачі регресійного аналізу одне рівняння замінюють системою рівнянь

Підсумкове значення подають у вигляді деякого функціонала

,

основною вимогою до якого є розв’язання його відносно будь-якої складової функції , а самі складові, починаючи з , визначають виключенням попередніх.

Апроксимація починається з того, що кожне з експериментальних значень , визначається як часткове значення функції однієї змінної, наприклад, . Знайдені часткові значення виключаються з експериментальних значень , за якими визначаються залежності .

Допустимо, що попередні дослідження впливу змінних дозволили встановити лінійні залежності у від кожної із змінних зокрема, тобто

Якщо відомо, що взаємодія між змінними відсутня або знехтувано мала, то можна шукати апроксимуючу функцію в такому вигляді:

,

тобто

де .

Тоді операція виключення першої складової така:

.

Знайдене за допомогою операції виключення значення використовується для відшукання функції , і процес повторюється доти, доки не будуть визначені всі складові функції.

Змістовий модуль 2.2 Кореляційний аналіз

2.2.1 Розробка статичних моделей з визначенням ступеня зв’язку між параметрами процесу

Перелік завдань з практичних занять до теми 2.2.1.

1 Пояснити основні відмінності випадкового процесу, випадкової величини, випадкової реалізації.

2 Дати пояснення суті кореляційного аналізу.

3 Дати визначення основних середньо-статистичних параметрів та їх призначення при описі випадкових величин.

4 Пояснити відмінності між середньо статичними величинами та їх оцінками.

5 Дати визначення коефіцієнта кореляції як основного параметра для визначення ступеня взаємозв’язку між величинами.

6 Пояснити відмінності та необхідність розрахунку коефіцієнта коваріації та коефіцієнта кореляції.

7 Пояснити відмінності між статичними та статистичними математичними моделями.

8 Розрахувати коефіцієнт кореляції між двома випадковими величинами x і y, записаними у вигляді таких двох одночасно отриманих вибірок:

варіант 1

x	2,5	4,2	5,6	6,5
y	2	4	6	8

варіант 2

x	3,5	4,7	6,5	7,5
y	10,5	12	14	16

варіант 3

x	-4	-6	-10	-12
y	10	8,5	5,5	2,0

варіант 4

x	2,5	7,5	10,5	13
y	16	10	7	2

варіант 5

x	20	17	13	11
y	3,5	7,0	8,5	10

варіант 6

x	5	8,5	11	14,5
y	16	13,5	8,5	2

варіант 7

x	2	3,5	6,5	8
y	1	3,5	7	9,5

варіант 8

x	3	2,5	-1,5	-3,5
y	7	9	11	13

варіант 9

x	4	-2,5	-4,5	-6
y	2	3,5	5	7,5

варіант 10

x	3	4,5	8	10,5
y	-7	-5	-3	-1

Приклад виконання завдання 1 до теми 2.2.1.

Дані, на основі яких здій­снюється оцінка зв’язку між ознаками фізичних процесів, одержують, як правило, експериментально, а самі результа­ти є випадковими величинами, значення яких в кожний момент часу можуть бути різними.

Якщо випадкова величина може безперервно змінюватись протягом досліду, то її називають випадковим процесом. Конкретний вид випадкового процесу, записаний, наприклад, самописцем, називають реалізаці­єю або вибірковою функцією випадкової величини Х(t). Можна також розглядати випадок, коли параметр t (час) – ди­скретний. Такий процес називається випадковою послідовністю, а сама операція одержання такої послідовності – квантуванням за часом.

2.2.2 Моделювання динамічних властивостей об’єкту за змінними в часі параметрами

Перелік завдань з практичних занять до теми 2.2.2.

1 Описати суть решітчастої функції та способи її отримання.

2 Дати визначення терміну “випадкова послідовність” та її види.

3 Описати суть процесу квантування, його види та способи.

4 Описати відмінності рівномірної та адаптивної дискретизації.

5 Описати способи визначення кроку дискретизації.

6 Дати визначення і методику використання теореми Котельнікова.

7 Дати визначення автокореляційної функції та її використання при математичному описі динамічних процесів.

8 Описати відмінності математичного моделювання об’єктів у статичному і динамічному режимах.

9 Описати алгоритм визначення кроку дискретизації за автокореляційною функцією.

10 Розробити математичну модель періодично змінного процесу з заданими параметрами.

11 Отримати решітчасту функцію для графічно заданого змінного в часі процесу.

12 Отримати графік неперервної функції за заданим графіком решітчастої функції.

Приклад виконання завдання 1 до теми 2.2.1.

Дискретизація або квантування неперервних сигналів за часом – це вибір їх миттєвих значень (відліків) у певні мо­менти часу. Внаслідок дискретизації неперервний сигнал замінюють послідовністю відліків. Інтервал часу , між дво­ма точками відліків називається кроком дискретизації або кроком квантування

.

Якщо , то такий крок називають рівномірним. Величина, обернена рівномірному кроку квантування, нази­вається частотою квантування

.

Неперервна послідовність відліків, досягнута в резуль­таті рівномірної дискретизації, називається решітчастою функцією. Існує декілька методів знаходження решітчастої функції за реалізацією випадкового процесу, які ґрунтуються на визначенні кроку дискретизації, виходячи з допустимої похиб­ки. Наприклад, за теоремою Котельникова крок дискрети­зації визначається за найвищою частотою F спектра непе­рервного сигналу

.

Однак визначення найвищої частоти спектра є досить складною задачею, тому в практиці моделювання фізичних про­цесів за даними пасивного експерименту цей метод не знай­шов широкого застосування. Частіше застосовують метод визначення кроку дискре­тизації за кореляційною функцією процесу, виходячи з макси­мально допустимої середньоквадратичної похибки. При цьому решітчасту функцію одержують методами сту­пінчастої апроксимації, при якій в найпростішому випадку значення функції в проміжках між двома відліками дорів­нює попередньому відліку.

Максимальне значення середньоквадратичної похибки при методі ступінчастої апроксимації для кожного відліку буде в кінці кроку дискретизації і не зале­жить від постійної складової випадкової функції. Тоді прий­мемо = 0 і, усереднюючи, одержимо

,

де N – кількість кроків дискретизації.

Враховуючи, що для описаного методу апроксимації , маємо

,

Але для випадкового процесу при і = 0

– дисперсія.

Тоді

.

Другий член у представляє собою коефіцієнт кореляції між значеннями , зсунутих в часі на крок дискретизації h для знакозмінних функцій. Позначивши його , одержимо

,

звідки, задаючись максимально допустимим значенням , знайдемо крок дискретизації, що забезпечує потрібну точність. Оскільки як , так і визначаються відхилення­ми значень функції від , то формула придатна для визначення кроку дискретизації з будь-якими постійними складовими.

Аналітичний розв’язок відносно кроку дискрети­зації h, що забезпечує необхідну точність апроксимації ви­падкового процесу решітчастою функцією, здійснюють шляхом подання кореляційної залежності у вигляді експо­ненціальної функції

.

де а – стала; т = 1, 2, 3,... – номер кроку дискретизації; – початковий крок дискретизації.

Найчастіше апроксимують тільки початкову ділянку кореляційної функції, тобто , а початковий крок виби­рають будь-яким (звичайно = Т/10, де Т – час реалізації процесу). Логарифмуючи (3.9) при т = 1, одержуємо

,

звідки

.

.