Змістовий модуль 2.3 Моделювання фізичних процесів на основі факторного експерименту

2.3.1 Складання матриці повного факторного експерименту

Перелік завдань з практичних занять до теми 2.3.1.

1 Обгрунтувати необхідність і умови використання факторного експерименту при експериментальному моделюванні.

2 Дати визначення термінів “фактор” та “рівень фактору” та пояснити методику їх розрахунку.

3 Пояснити алгоритм складання плану зміни комбінацій рівнів факторів при факторному експерименті.

4 Пояснити методику визначення розміру матриці повного факторного експерименту при двох і трьох рівнях факторів.

5 Обгрунтувати необхідність введення фіктивної змінної та методику її розрахунку при складанні матриці факторного експерименту.

6 Пояснити методику використання паралельних дослідів для побудові матриці факторного експерименту.

7 Пояснити властивість нормування матриці факторного експерименту.

8 Пояснити властивість ортогональності матриці факторного експерименту.

9 Пояснити методику розрахунку коефіцієнтів регресійного рівняння при моделюванні на основі повного факторного експерименту.

10 Розрахувати коефіцієнти регресійного рівняння на основі двофакторного експерименту для такої матриці планування:

№ досліду	Рівні факторів			Вихідний параметр
1	+1	+1	+1	5
2	+1	-1	+1	4,2
3	+1	+1	-1	3,5
4	+1	-1	-1	2

11 Розрахувати коефіцієнти регресійного рівняння на основі двофакторного експерименту для такої матриці планування:

№ досліду	Рівні факторів			Вихідний параметр
1	+1	+1	+1	6
2	+1	-1	+1	3,5
3	+1	+1	-1	8
4	+1	-1	-1	3

12 Розрахувати коефіцієнти регресійного рівняння на основі двофакторного експерименту для такої матриці планування:

№ досліду	Рівні факторів			Вихідний параметр
1	+1	+1	+1	6
2	+1	-1	+1	3,5
3	+1	+1	-1	10
4	+1	-1	-1	9

Приклад виконання завдання 1 до теми 2.3.1.

Регресійний та кореляційний аналізи при обробленні експерименталь­них даних ґрунтуються на тому, що дослідник експеримен­тально оцінює максимально можливу кількість значень па­раметрів, що характеризують процес в цілому за умови, щоб кількість дослідів не була меншою, ніж кількість членів апроксимуючого полінома. Але такий підхід до планування експериментальних досліджень вимагає значних затрат ча­су і не є оптимальним, особливо для значного числа дослід­жуваних параметрів.

Тому для дослідження про­цесів, що характеризуються значною кількістю параметрів, більш широке застосування знайшли методи, які ґрунтуються на факторному експерименті, теоретичні основи якого закладені англійським математиком Р.Фішером в кінці 20-х років. Результати такого експери­менту обробляють за деяким оптимальним алгоритмом з метою складання математичної моделі процесу у вигляді лі­нійного полінома (методи повного та дробового факторно­го експерименту) або нелінійного полінома (метод рототабельного планування). Суть факторного експерименту по­лягає в одночасному варіюванні всіх параметрів (факторів) за деяким планом, причому значення параметрів (факторів) встановлюють тільки в декількох точках допустимої області їх зміни і позначають символами (кодами) +1 (верхній рівень), –1 (нижній рівень) та 0 (середній рівень). План змі­ни значень факторів складає матрицю планування.

2.3.2 Складання матриці дробового факторного експерименту з введенням додаткових змінних

Перелік завдань з практичних занять до теми 2.3.2.

1 Обгрунтувати умови використання матриці дробового факторного експерименту.

2 Пояснити алгоритм побудови матриці “половинна репліка”.

3 Пояснити методику проведення паралельних дослідів при факторному експерименті.

4 Обгрунтувати необхідність введення додаткових змінних при дробовому факторному експерименті.

5 Пояснити алгоритм введення додаткових змінних при дробовому факторному експерименті.

6 Описати відмінності у виді регресійних рівнянь, отриманих при повному і дробовому факторних експериментах.

7 Пояснити методику розрахунку коефіцієнтів регресійного рівняння при моделюванні на основі дробового факторного експерименту.

8 Розрахувати коефіцієнти регресійного рівняння на основі такої дробової матриці планування трифакторного експерименту після введення додаткових змінних:

№ досліду	Рівні факторів				Вихідний параметр
1	+1	+1	+1	+1	7
2	+1	-1	+1	+1	4,2
3	+1	+1	-1	=1	10,8
4	+1	-1	-1	=1	5

9 Розрахувати коефіцієнти регресійного рівняння на основі такої дробової матриці планування трифакторного експерименту після введення додаткових змінних:

№ досліду	Рівні факторів				Вихідний параметр
1	+1	+1	+1	+1	4
2	+1	-1	+1	+1	3,5
3	+1	+1	-1	=1	8,4
4	+1	-1	-1	=1	9,5

10 Розрахувати коефіцієнти регресійного рівняння на основі такої дробової матриці планування трифакторного експерименту після введення додаткових змінних:

№ досліду	Рівні факторів				Вихідний параметр
1	+1	+1	+1	+1	3,7
2	+1	-1	+1	+1	=10,4
3	+1	+1	-1	=1	10,8
4	+1	-1	-1	=1	5

Приклад виконання завдання 1 до теми 2.3.2.

Повний факторний експеримент є досить ефективним засобом побудови математичної моделі. Але збільшення числа факторів приводить до різкого збільшення кількості дослідів. Так, ПФЕ типу 2⁵ вимагає постановки 32 дослідів, а типу 2⁶ – вже 64 досліди. І хоч точність моделі можна в такому випадку суттєво підвищити, зростання часу на екс­периментальні дослідження, необхідність витримувати при проведенні окремих експериментів ідентичні умови, часом зводять нанівець позитивне від підвищення точності моделі. Тому часто для визначення коефіцієнтів лінійного рів­няння при числі змінних більше, ніж два, застосовують не ПФЕ, а його частини – дробові факторні експерименти (ДФЕ), які ще називають дробовими репліками.

Скорочення кількості дослідів приводить до появи коре­ляції між окремими стовпчиками матриці планування, що не дозволяє окремо оцінювати ефекти факторів. Тому в план експерименту вводять додаткові змінні, одержані, найчасті­ше, множенням основних. В практиці застосування ДФЕ найчастіше обмежуються введенням додаткових змінних у вигляді множення двох факторів (парна взаємодія), а кількість таких змінних виз­начають, виходячи із того, що число коефіцієнтів не повин­но перевищувати число дослідів.

МОДУЛЬ 3

Адекватність моделей, оптимізаційні задачі

Змістовий модуль 3.1

Вірогідність експериментальних

математичних моделей.

Критеріальна оцінка адекватності

3.1.1 Визначення адекватності математичних моделей при аналітичному моделюванні

Перелік завдань з практичних занять до теми 3.1.1.

1 Пояснити суть терміну “адекватність моделі”.

2 Пояснити відмінності у визначенні адекватності моделі при аналітичному і експериментальному моделюванні.

3 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу поширення ультразвукових коливань у твердих тілах.

4 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу поширення звукових хвиль у приміщенню.

5 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу руху крові по судинах.

6 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу поширення радіохвиль.

7 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу поширення світлових хвиль.

8 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу роботи електричного двигуна постійного струму.

9 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу поширення водяної хвилі.

10 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу роботи генератора змінного струму.

11 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу поширення вибухової хвилі.

12 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу поширення рентгенівських променів.

13 Обгрунтувати методику визначення адекватності математичної моделі процесу руху газу по трубопроводі.

Приклад виконання завдання 1 до теми 3.1.1.

Необхідна умова для переходу від дослідження моделі і подальше перенесення результатів на об’єкт дослідження – це вимога адекватності (відповідності) моделі і об’єкта (фізичного процесу), тобто вимога вірогідності цієї моделі. Адекватність припускає відтворення моделлю з необхідною повнотою всіх властивостей об’єкта, суттєвих для мети да­ного дослідження. Якщо модель одер-жана аналітичним ме­тодом, то ступінь її адекватності визначається повнотою відомостей дослідника про реальний процес, можливістю застосування математичного апарату для складання та дослідження моделі, кількістю та якістю зроблених допу­щень та нехтувань. Що ж стосується вірогідності моделі, одержаної на основі експериментальних даних, зокрема, результатів пасивного експерименту, то вона визначається звичайно двома факторами: структурою (видом) матема­тичної моделі та рівнем вірогідності експериментальних даних. Що стосується першого фактора, то ускладнення структури моделі, особливо у зв’язку з можливістю викори­стання ЕОМ, не представляє собою скільки-небудь складну задачу. Оцінка ж вірогідності експериментальних даних – до­статньо складна і багаторівнева задача, розв’язання якої потребує застосування спеціальних методів, які ґрунтуються на оцінці статистичної значущості одержаних резуль­татів.

3.1.2 Оцінка вірогідності експериментальних моделей фізичних процесів за критеріями Стьюдента та Фішера