1.9 Проверка математической модели на адекватность

Чтобы проверить соответствие полученной математической модели изучаемому явлению, производим проверку на адекватность. Эта проверка представляет собой оценку ошибки аппроксимации.

Для этого вычисляют опытное значение критерия Фишера, которое сравнивают с его теоретическим значением, взятым при заданном уровне значимости α. При этом если опытное значение критерия Фишера меньше теоретического значения, то модель считается адекватной. Если неравенство имеет другой смысл – модель признается неадекватной.

модель адекватна,

модель неадекватна

Опытное значение критерия Фишера берем равным отношению остаточной дисперсии (ее также называют дисперсией адекватности) S²{y}_ост к общей дисперсии всего эксперимента S²{y}.

(1.16)

где - расчетные (теоретические) построчные значения функции отклика;

- опытные построчные средние значения функции отклика;

- частные опытные значения функции отклика;

n – число строк в матрице планирования;

m – число параллельных опытов при каждом сочетании факторов;

d – число значащих коэффициентов регрессии.

Расчетные (теоретические) построчные значения функции отклика определяются по формуле (1.15) для каждого сочетания факторов по кодированным значениям.

Расчетные (теоретические) построчные значения функции отклика определяются по формуле (1.15) для каждого сочетания факторов по кодированным значениям.

Определяем опытное значение критерия Фишера

Теоретическое значение критерия Фишера определяем по таблице (Приложение 3) для уровня значимости α и чисел степеней свободы k₁ и k₂.

(1.17)

В нашем примере α = 0,05; k₁ = 4 – 3 = 1; k₂ = 4·3 – 1 = 11.

По таблице Приложения 3

F_теор = 4,84

Поскольку F_опытн = 49,33 > F_теор = 4,84, полученное уравнение математической модели неадекватно описывает изучаемое явление.

2. Поиск области экстремума

В предыдущих разделах рассматривался порядок составления уравнений математической модели и проверки ее на адекватность. При этом по величине коэффициентов регрессии представлялось возможным судить о влиянии того или иного фактора или их взаимодействия на функцию отклика. Этим самым выявлялся механизм явления или чувствительность функции отклика к различным факторам (ранжирование факторов).

Во многих задачах требуется определить экстремум функции отклика, т.е. найти такое значения факторов, при которых функция отклика будет иметь экстремальное (минимальное или максимальное) значение. Для решения такой задачи применяется метод движения по градиенту (метод крутого восхождения).

При поиске области экстремума в качестве начальной точки (центра плана) берется точка, которая определяется исходя из априорных сведений и условий опыта. Далее, используя уравнение регрессии первого порядка, производят аппроксимацию поверхности отклика плоскостью для двухфакторной зависимости. Порядок поиска области экстремума показан на рис. 1.

Рисунок 1 – Поиск области экстремума

Для примера, уравнение регрессии первого порядка для точки А₁ имеет вид:

(2.1)

Следовательно, вектор-градиент для точки А₁ будет иметь вид

(2.2)

Этому значению вектора-градиента на рис. 1 отвечает направление А₁А₂. Для определения области экстремума вдоль направления А₁А₂ при некотором значении шага последовательно выбирают несколько экспериментальных точек. Движение по этому направлению продолжают до тех пор, пока не попадут в область, где локальная аппроксимация гиперплоскостью не станет горизонтальной, т.е. в такую точку А_і, в которой вектор-градиент равен нулю и, следовательно, он уже не дает направления поиска. Окрестность полученной точки А_і и представляет собой искомую область экстремума.

Полученная область экстремума исследуется с помощью уравнения регрессии второго порядка.