3 Ортогональное планирование второго порядка
При планировании второго порядка экспериментатор делает предположение, что рассматриваемое явление описывается математической моделью второго порядка
(3.1)
В основу планирования положено ортогональное планирование на трех уровнях по каждому из факторов. Число точек плана составляет
(3.2)
Рисунок 3.1 – Схема расположения точек, в которых ищется значение функции отклика
Уровни факторов записываются в таблицу матрицы плана в кодированном виде:
Верхнее значение первого фактора
или просто +
; (3.3)
Нижнее значение первого фактора:
или просто –.
(3.4)
где I1 – интервал варьирования по первому фактору.
(3.5)
Аналогично определяется интервал варьирования по второму фактору.
Среднее значение фактора в кодированном виде равно 0.
Расположение точек плана в кодированном пространстве показано на рисунке 3.2 Такое расположение точек соответствует ортогональному планированию 2-го порядка.
Рисунок 3.2 – Расположение точек плана в кодированном пространстве
3.1 Составляем матрицу плана
Составление матрицы плана для ортогонального планирования второго порядка имеет свою особенность. Не вдаваясь в математические тонкости, отметим: в планировании первого порядка использовались кодированные значения факторов в первой степени. В планировании второго порядка требуются кодированные значения факторов во второй степени. Для того, чтобы матрицы, используемые при обработке результатов, имели требуемый вид, кодированным факторам во второй степени придаются корректированные значения. Если фактор имеет значение хі = 1, или хі = –1, то (хі)2 = 1/3. Если хі = 0, то (хі)2 = – 2/3.
Как показано выше, опыты проводятся при девяти различных сочетаниях факторов.
В нашем примере изучается процесс ремонта автомобильной детали электролитическим наращиванием металла. Задачей является определение оптимальной технологии процесса, при которой качество ремонта будет наилучшим. В качестве параметра оптимизации рассматривается твердость покрытия, а в качестве факторов – плотность тока I (количество ампер на квадратный метр), и температура электролита Т.
Основываясь на априорной информации (известно, что линейная модель не является адекватной), принято решение описывать рассматриваемое явление моделью второго порядка.
Пусть при проведении опытов получены следующие результаты
Таблица 3.1 – Значения функции отклика при различных величинах факторов
Номер опыта (вариант сочетания факторов) |
Уровни факторов |
|||||
В натуральных значениях |
В кодированных значениях |
|||||
ε |
η |
y1 |
y2 |
y3 |
||
1 |
11,2 |
14,4 |
268,1 |
271,1 |
276,3 |
|
2 |
11,2 |
17,2 |
328,9 |
336,4 |
326,1 |
|
3 |
11,2 |
20,36 |
409,3 |
397 |
402,7 |
|
4 |
17,5 |
14,4 |
361,8 |
364,2 |
379,2 |
|
5 |
17,5 |
17,2 |
445,9 |
450,3 |
440,7 |
|
6 |
17,5 |
20,36 |
513 |
517,9 |
521,3 |
|
7 |
23,8 |
14,4 |
558,9 |
542,1 |
550,1 |
|
8 |
23,8 |
17,2 |
611,8 |
622,2 |
598 |
|
9 |
23,8 |
20,36 |
674,8 |
681,4 |
689,5 |
|
Матрица планирования для квадратичной модели будет иметь вид табл. 3.2
Таблица 3.2 - Начальный участок матрицы плана
-
№ опыта
Уровни факторов
х0
х1
x2
x1' 2
x2' 2
x1x2
1
1
– 1
– 1
0,333
0,333
1
2
1
– 1
0
0,333
-0,667
0
3
1
– 1
1
0,333
0,333
-1
4
1
0
– 1
-0,667
0,333
0
5
1
0
0
-0,667
-0,667
0
6
1
0
1
0,667
0,333
0
7
1
1
– 1
0,333
0,333
-1
8
1
1
0
0,333
-0,667
0
9
1
1
1
0,333
0,333
1
3.2 Вычисляем произведение среднего значения функции отклика в строке на соответствующие значения факторов
Продолжаем таблицу, занося в следующий столбец среднее значение функции отклика для каждой строки (используется функция EXEL «срзнач»). Затем в соответствующие столбцы таблицы вносим произведения среднего значения функции отклика на значения уровней факторов. К таблице добавляется участок, показанный в таблице 3.3.
Таблица 3.3 – Произведения среднего значения функции отклика в строке на значения факторов
-
Значения правых частей нормальных уравнений
ycp
x0ycp
x1ycp
x2ycp
x1' 2ycp
x2 '2ycp
x1x2ycp
271,83
271,83
-271,83
-271,83
90,61
90,61
271,83
330,47
330,47
-330,47
0
110,16
-220,31
0
403,00
403,00
-403,00
403,00
134,33
134,33
-403,00
368,40
368,40
0
-368,40
-245,60
122,80
0
445,63
445,63
0
0
-297,09
-297,09
0
517,40
517,40
0
517,40
-344,93
172,46
0
550,37
550,37
550,37
-550,37
183,44
183,44
-550,37
610,67
610,67
610,67
0
203,54
-407,11
0
681,90
681,90
681,90
681,90
227,28
227,28
681,90