Числовые характеристика рассеивания характеризуют степень и форму рассеивания возможных значений X относительно математического ожидания.

Среди числовых характеристик рассеивания важнейшую роль играют: дисперсия - D_x, среднее квадратическое отклонение - _x, коэффициент вариации - C_v, коэффициент асимметрии - C_s .

_n

D_x = ∑ (x_i- m_x )²/ N, (1.5)

ⁱ⁼¹

, (1.6)

, (1.7)

_N

С_s = ∑ (x_i- м_x)³/N /_x ³ . (1.8)

ⁱ⁼¹

В практике гидрологических расчетов и прогнозов при исследовании существенно положительных величин формулы (1.7) и (1.8) часто представляются в виде:

, (1.9)

_N

С_s = ∑ (k_i- 1)³/N / C_v³, (1.10)

ⁱ⁼¹

где k_i- модульный коэффициент,

k_i=x_i./m_x. (1.11)

Гидрологические наблюдения ограничены во времени. Поэтому ряды этих наблюдений представляют собой выборки, а рассчитанные по ним значения числовых характеристик – выборочными.. Это означает, что все характеристики законов распределения, полученные по гидрологическим рядам, отличаются в той или иной степени от действительных (генеральных) значений, которые могли бы быть получены, если бы ряд наблюдений был бесконечной продолжительности или достаточно репрезентативно освещал все возможные ситуации. Лишь с увеличением периода наблюдений, рассчитанные по выборке значения характеристик распределения, часто их называют оценками, асимптотически стремятся к действительным значениям.

Оценочный характер законов распределения и их параметров, полученный по выборочным данным, естественно должен получить отражение и в методах расчета этих характеристик.

Так по выборочным данным для дискретной случайной величины могут использоваться характеристики, аналогичные ряду и многоугольнику распределения: статистический ряд и статистический многоугольник распределения. Отличие заключается в том, что в статистическом ряду распределения вместо вероятности возможных значений случайной величины X - ζ. указывается их частота:

, (1.12)

где n- общее число наблюдений (объем ряда наблюдений), m – число значений X, равных ζ.

Для описания законов распределения непрерывных случайных величин по выборочным данным используются характеристики, аналогичные статистическому ряду (табл. 1.1.) и многоугольнику распределения (рис.1.1.). Эти характеристики называются статистическая совокупность (табл.1.2) и гистограмма (рис.1.2). Их отличие заключается в том, что в верхней строке таблицы или по оси абсцисс графика указываются не конкретные значения случайной величины, а интервалы этих значений и их частота.

Таблица 1.2 - Статистическая совокупность ряда ...... (название ряда)

Интервал значений	От… до …	От … до….	От … до …
Число значений в интервале, m
Частота, p

Для расчета значений статистической совокупности необходимо разбить амплитуду колебаний случайной величины на k интервалов, подсчитать количество наблюдений m_j значений данной случайной величины попадающих в J – ый интервал, (j= 1,2, …,k) и рассчитать частоту p_{j =} m_j /n каждого J –го интервала.

Для построения гистограммы по оси абсцисс последовательно откладываются границы интервалов исследуемой случайной величины. На каждом из этих интервалов, как на основании, строят прямоугольник высотой, соответствующей частоте данного интервала p. Последовательность полученных в поле графика прямоугольников, сумма высот которых равна 1, и представляет собой гистограмму (рис.1.2.).

P

Рис. 1.2. Гистограмма распределения

Гистограмма позволяет сделать ряд достаточно определенных предположений об имеющемся ряде наблюдений: об амплитуде колебаний относительно средних значений, о наиболее вероятных значениях исследуемого процесса, симметричности колебаний относительно среднего значения и т.д.

Следует отметить, что результаты анализа ряда наблюдений по гистограммам в некоторой степени зависят от числа интервалов. Чрезмерное увеличение числа интервалов при ограниченном материале наблюдений приведет к истощению материала о каждом интервале в отдельности и, следовательно, к большим погрешностям в определении частоты его значений. Уменьшение числа интервалов приведет к излишней схематизации анализа.

Число непересекающихся интервалов одинаковой длины, покрывающих всю амплитуду изменений значений ряда X, можно определить, например, по одной из рекомендованных формул

K = entier (10 lg n). (1.13)

Однако, как показывает многолетний опыт работы с короткими рядами, какими обычно являются гидрологические ряды, при выборе количества интервалов лучше исходить из требования, чтобы в каждом интервале было не меньше 4 – 6 точек.

На основе статистических совокупностей могут быть рассчитаны оценки ординат функции обеспеченности и функции распределения. Расчет может производиться по форме таблицы 1.3. В первой строке таблицы указываются нижние границы интервалов статистической совокупности - ζ ₁ , в последнем поле этой строки указывается верхняя граница последнего интервала. Во второй строке указывается число случаев, когда значения ряда равны или больше нижней границы интервала - m₁, в третьей строке указывается число случаев, когда значения ряда меньше границы интервала - m₂. В четвертой строке приводятся оценки значений ординат кривой обеспеченности _i, рассчитанные по формуле

_i = m_1i / n . (1.14)

В пятой строке таблицы приводятся оценки значений ординат кривой функции распределения F_i , рассчитанные по формуле

F_i = m_2i / n . (1.15)

Таблица 1.3. Расчет эмпирических функций распределения и обеспеченности ряда … (название ряда)

ζ 1	x1	x2	x3	………	xk
m1
m2
i
Fi

Функция обеспеченности, рассчитанная по конкретному ряду наблюдений, называется эмпирической функцией обеспеченности.