5.2. Исчисление предикатов

Для примера рассмотрим логические модели процессов проектирования технологии механической обработки деталей резанием. Для построения логической модели процесса проектирования технологии механической обработке рассмотрим два основных множества этого процесса: множество С средств обработки и множество А поверхностей детали. Параметрическое описание объектов a_i A, c_i C выразим через свойства этих объектов. Для этого описания воспользуемся понятием «предикат - свойство» (одноместный предикат), представляющим собой логическую функцию, которая определяет принадлежность свойств предмету m (х). В этой функции переменная величина х является предметной переменной (т.е. местом, на которое подставляются элементы из множеств А и С или из их подмножеств), является предикатной переменной (т.е. местом, на которое подставляется элемент из множества свойств М или из его подмножества). Для задания областей, определяющих значение «истинно», используется операция навешивания ограниченных кванторов: общности – знак (обобщение операций конъюнкции) и существования – знак (обобщение операции дизъюнкции).

Для любых элементов множеств рассмотренные отношения будем описывать с помощью предикатов (логических функций), которые при подстановке на место предметных переменных x₁, x₂, ₁, _2, x, u, y превращаются в истинные или ложные высказывания об отношении предметов. Далее будут использованы предикаты «совместности» - двуместные (x₁ ↔ x₂, x ↔ u, x ↔ y ), одноместные (x ↔ a, x ↔ b); «предопределения» - двуместные (x₁ ↔ x₂), которые определены из классов взаимодействий технологических объектов. Будут использованы двуместные предикаты «следования», а также предикаты «равенства», «меньше» и «меньше - равно» на числовых множествах: _{1 = 2, 1} < ₂, _x ≤ N, где N - заданное число или числовое выражение.

Например, рассматривается подмножество групп поверхностей детали Aⁿ. Необходимо выделить из него множество тех n-к (a₁,…,a_n), у которых между элементами установлен порядок следования, истинный с точки зрения технологической сущности задачи.

Из закономерностей технологии машиностроения принимаем, что если качество поверхности a_j выше качество поверхности a_i, то обработка поверхности a_i предшествует обработки поверхности а_j, т.е. из _I < _j следует, что а_i ─< a_j, где _I < _j – значения качества а_i и a_j.; знак – операция конъюнкции, знак – операция импликации, – операция дизъюнкции.

X1 X2 m1 m2 1 2 {[ m1 (X1 ) m2 (X2 ) ( 1 < 2 )] (X1 ─< X2 )} A A MA MA MA MA

1

Операция навешивания ограниченных кванторов общности и существования позволяет задать область, определяющую значения истинности для приведенных формул.

Применив те же условия к множеству С, получим множество тех пар, которые удовлетворяют условию (1), и, дополнив его условием транзитивности получим функцию выделения подмножества C^m₁ из C^m.

X1 X2 m1 m2 1 2 {[ m1 (X1 ) m2 (X2 ) ( 1 < 2 )] (X1 ─< X2 )} A C C Mc Mc Mc Mc

2

Физическая интерпретация в этом случае такова: средства, дающие более качественную обработку, следуют в порядке обработки за средствами, дающими менее качественную обработку.

Рассмотрим условия, с помощью которых определяются те элементы. Которые связаны отношением совместности. Обозначим совместимость двух поверхностей а_i и a_j через а_i ↔ a_j. Это условие может быть выведено из реального условия возможности обработки нескольких поверхностей в одной операции. Например, поверхности, обладающие одними и теми же свойствами ₁= ₂ (вид поверхности, положение, соотношение с другими поверхностями), могут быть обработаны в одной операции. Такие поверхности будем считать совместными.

Условие совместности элементов множества А запишем функцией (3), где M_A – множество значений свойств обрабатываемых поверхностей; ₁, ₂ – значение свойств.

X1 X2 m1 m2 1 2 {[ m1 (X1 ) m2 (X2 ) ( 1 = 2 )] (X1 ↔ X2 )} A A MA MA MA MA

3

Отношение совместности имеет место и на множестве С. Условие истинности отношения совместимости между элементами какой-либо пары (c₁,c₂) на C² может быть установлено из реального условия возможности применения технических средств на одном этапе обработки (в переходе или операции). Например, в одном переходе можно применять токарный станок и резец (они совместны в обработке), но нельзя использовать токарный станок и фрезу (они несовместны в обработке). Совместность средств обработки может быть определена по их свойствам.

Рассматривая взаимодействие технологических предметов в процессе обработке, определим, что существует взаимодействие, выраженное в том, что обрабатываемая поверхность, станок, инструмент, режимы резания, оснастка, базовая поверхность могут быть одновременно использованы на одном и том же этапе процесса изготовления. Например, в одном переходе используются: базовая поверхность, обрабатываемая поверхность, станок, инструмент и оснастка, необходимые для её обработки. Будем называть эти технологические предметы совместными в обработке или предметами, между которыми установлено отношение совместности. Для обозначения отношения совместности будем использовать символ ↔:

х ↔ y или Qt₂(x,y)

В отличие от рассмотренного выше отношения следования отношения совместности имеет место между различными предметами, а именно между поверхностью и станком, между поверхностью и инструментом, между поверхностью и базовой поверхностью, между поверхностью и оснасткой, между станком и инструментом, между станком и оснасткой, между базовой поверхностью и оснасткой.

Рассматривая взаимосвязь различных технологических предметов легко установить, что существуют такие предметы, когда один предмет «или несколько» предопределяет наличие, употребления другого предмета в технологическом процессе. Например, использование токарного станка предопределяет использование токарных инструментов (резцов различного профиля). Поверхность вращения предопределяет необходимость использования станков, на которых можно обрабатывать эти поверхности, а именно: токарных, сверлильных, револьверных и т.п.. Для обозначения отношения предопределения будем употреблять символ →:

х → y или Qt₃(x,y)

Отношение предопределения также, как и отношение совместности, существует лишь между различными предметами, а именно: обрабатываемая поверхность предопределяет станок, инструмент, базу, режим резания и оснастку; станок – инструмент, режим резания и оснастку; инструмент – режим резания и оснастку; база – определенную оснастку.

Итак, можно сделать вывод, что между технологическими предметами и их свойствами существует отношение принадлежности; между технологическими предметами имеются отношения следования, совместности и предопределения.

В процессе проектирования технолог изучает свойства технологических предметов и, выбирая необходимые, сравнивает их между собой. Одни свойства имеют в технологии цифровые значения, например, квалитет точности, геометрические параметры и т.п.; другие, такие, как вид поверхности и т.п., имеют словесные наименования. Для сравнения цифровых значений свойств достаточно рассмотреть лишь два отношения: равенство (=), например, [m₁] = [m₂] или Rt₂(m_1, m₂) и неравенства, которые будем обозначать символом (<), например, [m₁]<[m₂] или Rt₁(m_1, m₂). Для свойств, не имеющих в технологии количественных характеристик, будем определять отношения равенств Rt₂ и неравенства Rt₂.

Еще раз отметим, что арифметическое отношение меньше (<) имеет место лишь для значений свойств, а отношение равенства Rt₂ будем употреблять для цифровых значений (наименований) свойств и предметов.

Определение областей существования отношений проведем с помощью логического анализа технологических законов, правил и утверждений. В технологическом описании проектирования технологических процессов, как правило, не встречаются в явном виде утверждения в тех формулировках, которые мы будем рассматривать ниже, но, анализируя технологические знания, эти утверждения можно выделить. Рассмотрим те утверждения, в которых идет речь о наличии (существовании) отношений между предметами.

Утверждение 1. Каждый технологический предмет обладает хотя бы одним свойством.

Используя символику логики предикатов, запишем это утверждение в виде

X Pt [Pt(x)],

Т М

где — символ квантора общности; - символ квантора существо­вания.

Рассмотрим, для каких подмножеств Т и М записанное высказывание состоит из истинных элемен­тарных высказываний.

Множество Т технологических предметов включает в себя следующие подмножества: T₁ - множество станков, Т₂ - множество инструментов, Т₃ - множество режимов резания, Т₄ - , множество оснастки, Т₅ - множество обрабатываемых поверхностей (поверхностей детали), Т₆ - множество базовых поверхностей. Таким образом, Т = T₁ U T₂ U Т₃ U Т₄ U Т₅ U Т₆.

Множество М свойств технологических предметов включает:

М¹ - множество свойств станков, М² - множество свойств инструментов, М³ - множество свойств режимов резания, М⁴ - множество свойств оснасток, М⁵ - множество свойств обрабатываемых поверхностей, М⁶ - множество свойств базовых поверхностей.

Утверждение 2. Каждый технологический предмет связан каким-либо отношением Qt с другим технологически предметом:

X Y [X Qt Y].

Т T

Утверждение 3. Для каждого технологического предмета найдется другой, который совместен с первым в процессе обработки:

X Y [X ↔ Y].

Т T

Утверждение 4. Существуют технологические предметы, которые предопределяют друг друга в технологическом процессе обработки:

X Y [X → Y].

Т T

Технологические утверждения содержат описание условий, пра­вильных сточки зрения технологии и производства, выраженные через взаимодействия между предметами и их свойствами. В условиях описываются взаимодействия сточки зрения требований основного слу­жебного назначения и других классов требований.

Математическое описание технологических утверждений позволяет выразить в формализованном виде целевые установки по проектированию технологии и закономерности их достижения, обеспечивающем в дальнейшем их построение с помощью формальных процедур. В математическом описании технологических утверждений используются основные логические зависимости, полученные ранее.

Все технологические предметы взаимосвязаны. Взаимосвязь задается в следующем виде: если имеется какой-либо предмет с определенны­ми свойствами, то он предполагает наличие другого технологического предмета с определенными свойствами. Например, наличие поверхностей вращения предполагает наличие станков, допускающих обработку таких поверхностей, токарных, сверлильных, револьверных и т. п. Аналогично могут быть записаны зависимости других параметров станка и инструмента от свойств обрабатываемой поверхности.

Теперь рассмотрим утверждения, из которых могут быть определены условия правильных, с точки зрения технологии, взаимодействий различных технологических предметов в технологическом процессе. Ранее мы выразили эти взаимодействия в виде отношений следования, совместности и предопределения. Исследуем, при каких условиях выполняется отношение следования. Проанализируем следующие технологические утверждения: по­верхности наивысшего качества обрабатывают на последних этапах обработки, черновая обработка предшествует чистовой обработке, более точные станки применяют после менее точных и т. п. Из этих утверждений следует, что основой упорядочения технологических предметов является свойство качества. Предмет с более низким качеством предшествует в процессе обработки предмету с более высоким качеством. Для обрабатываемых поверхностей эта зависимость имеет вид

X₁ X₂ m₁ m₂ {[ [m₁ (X ₁ )] [m₂ (X ₂ )] ( [m₁] < [m₂]) ] [X ₁ ─< X ₂]}.

Т₅ T ₅ M₂⁵ M₂⁵

Т.е. формула описывает следующие условия:

1) если два предмета обладают такими значениями качества, что одно из них меньше другого, то предмет, обладающий худшим качеством, предшествует в процессе обработки предмету, обладающему более высоким качеством;

2) для каждого предмета существует другой предмет, связанный с первым отношением следования.

Рассмотрим, при каких условиях между предметами выполняется отношение совместности. Как было определено выше, предметы сов­местны, если используются на одном и том же этапе обработки. Использование средств обработки предопределено свойствами обрабатываемых поверхностей. В этой связи рассмотрим условия выполнения отношения предопределения, а затем отношения совместности.

Пусть имеется обрабатываемая поверхность (плоскость), которая по своим свойствам требует использования соответствующего станка (например, вертикально-фрезерного). Из технологической практики известно, что такие свойства обрабатываемой поверхности, как вид поверхности, ее качество (квалитеты точности и шероховатость), положение поверхности и ее соотношение с другими поверхностями, предопределяют тот метод или методы обработки, которыми должны обладать средства обработки, станок и инструмент. Таким образом, поверхность с определенными свойствами предопределяет станок и инструмент с определенным методом обработки, следовательно, поверхность предопределяет станок и инструмент.

Выбранный метод обработки, а также такие свойства обрабатываемой поверхности, как вид поверхности, положение и соотношение с дру­гими поверхностями, позволяют определить еще одно свойство станка, а именно его вид.

Вид станка, выбранный метод обработки, а также свойства обраба­тываемой поверхности позволяют определить вид инструмента. Таким образом, условием наличия отношения предопределения между по­верхностью, станком и инструментом является наличие определенной зависимости между свойствами станка, обрабатываемой поверхности и инструмента.

Исходя из рассмотренных утверждений, можно сделать вывод, что совместность технологических предметов в процессе обработки может быть записана формулой, которую можно использовать в процедурах автоматизации процессов проектирования.