4.3. Планирование эксперимента

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации об его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процесс

ов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение. Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности, и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Итак, для получения математической модели изучаемого процесса необходимо проводить эксперимент. Количество опытов должно быть минимальным, но достаточным для адекватного отражения изучаемого процесса в создаваемой математической модели. С этой целью составляется план полного факторного эксперимента (ПФЭ). Количество опытов в плане составит 2ⁿ, где n - число независимых переменных (факторов). Для плана ПФЭ 2² число факторов равно двум (n=2) и число уровней фиксирования факторов также 2.

Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома

Y=В₀ + B₁Х₁ + … + B_nХ_n + В₁₂Х₁Х₂ + … В_nn-1Х_nХ_n-1 + В₁₁Х₁² + … + В_nnX_n² +….

Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.

Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов.

Рис. 4.16. Пространство кодированных факторов

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 4.16), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х_1ср, Х_2ср, …, Х_nср

.

Текущее значение кодированного фактора

,

где Х_i – именованное (абсолютное) значение фактора; x_i – кодированное значение фактора; X_icp -X_imin =X_imax-X_icp - интервал варьирования фактора.

Полное число возможных сочетаний значений n факторов (число опытов, а значит и число строк плана) N=2²=4. Составляется план, в котором число столбцов факторов и их сочетаний равняется числу членов уравнения. Так для уравнения

План ПФЭ 2² для этого уравнения представляется в следующем виде.

Столбцы, обведенные утолщенной рамкой, образуют план эксперимента. Столбцы, не обведенные утолщенной рамкой, при проведении опытов носят вспомогательный характер. В первый столбец (i=0) во все четыре ячейки заносятся +1. Во второй столбец (i=1) заносятся единицы с чередующими знаками (начинаем с -1). В этом случае сумма элемента столбца равняется нулю. Третий столбец заполняем единицами с чередующимися через 2 элемента знаками. Сумма элементов также равняется нулю. Геометрическое отображение плана ПФЭ 2² с указанием номеров точек плана в факторном пространстве представлено на рис. 4.17. Точки плана располагаются в вершинах квадрата.

Рис. 4.17 Геометрическое отображение плана ПФЭ 2² в факторном пространстве

Элементы столбцов, соответствующих произведениям факторов получаются путем перемножения элементов предыдущих столбцов. Такое правило позволяет гарантировать, что мы не пропустили ни одного возможного сочетания факторов в опытах и в то же время не будет повторений одинаковых сочетаний. Последние два столбца факторов, соответствующие квадратам факторов, состоят только из +1. Столбцы, обведенные утолщенной рамкой, образуют план эксперимента. Столбец х₁х₂, не обведенный утолщенной рамкой, при проведении опытов носит вспомогательный характер.

Особенности плана ПФЭ 2²:

1. Различных столбцов в таблице получилось лишь четыре. Столбцы, соответствующие квадратам факторов неотличимы от столбца х₀ - это общий результат для плана ПФЭ 2ⁿ. Это не позволяет определить отдельно коэффициенты при квадратах факторов. Поэтому планы ПФЭ 2ⁿ называют планами первого порядка. Для определения коэффициентов при квадратах факторов используют планы второго порядка. В дальнейшем в планах ПФЭ 2ⁿ столбцы квадратов факторов изображаться не будут.

2. Число различных столбцов равняется числу различных сочетаний факторов, то есть числу строк плана - числу опытов N. Это тоже общий результат для этих планов, то есть с помощью планов ПФЭ 2ⁿ можно определить все коэффициенты линейного полинома со всеми возможными сочетаниями факторов, включая коэффициенты b_12…n , отражающие максимальное взаимодействие факторов вида х₁х₂…х_n.

3. В плане ПФЭ 2² сумма квадратов элементов любого столбца

,

Поэтому для планов ПФЭ 2ⁿ

.

Таким образом, с помощью планов ПФЭ 2ⁿ можно определить свободный член уравнения b₀, коэффициентов b_i, коэффициентов при различных взаимодействиях двух факторов b_ij , коэффициентов тройных взаимодействий факторов b_ijk , ….., коэффициент b_12…n. максимального взаимодействия факторов. Общее число определяемых коэффициентов

.

План ПФЭ 2ⁿ может являться насыщенным, при выборе числа членов уравнения m + 1 = N, ненасыщенным, при выборе числа членов уравнения и соответственно числа столбцов плана m + 1 < N . План ПФЭ 2ⁿ является также рототабельным, так как все точки плана лежат на окружности (сфере, гиперсфере) с радиусом относительно центра плана. В первом столбце матрицы фигурирует фиктивная переменная Х₀, необходимая для вычисления свободного члена уравнения регрессии b_0. Большее значение переменной согласно принятой программе эксперимента соответствует верхнему уровню и обозначается (+1), меньшее значение – соответствует нижнему уровню и обозначается (-1).

Поскольку фиктивная переменная во всех опытах имеет максимальное значение, то для вычисления свободного члена формула имеет вид:

b₀ = Σ Y_j / N.

Все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга. Это свойство приводит к тому, исключение из плана эксперимента тех или иных факторов не потребует проведения все расчетной работы заново.

Для плана ПФЭ 2³ число факторов n = 3. Выполняется N = 2³ = 8 опытов. Уравнение может содержать до восьми членов

.

Таким образом, формируется план из восьми строк и восемь столбцов. В четвертом столбце (i=3) записываются единицы с чередующимися знаками через четыре элемента. План составляется аналогичным образом плану ПФЭ 2².

Геометрическое отображение плана ПФЭ 2³ с указанием номеров точек плана в факторном пространстве представлено на рис. 4.18. Точки плана располагаются в вершинах куба.

Рис. 4.18 Геометрическое отображение плана ПФЭ 2³ в факторном пространстве

Пример применения плана ПФЭ 2². Пусть в результате проведения экспериментов по плану ПФЭ 2², то есть при изменении двух факторов, мы получили опытные значения Y₁, Y₂, Y₃, Y₄. Поверхность, уравнение которой нас интересует, имеет вид рис. 4.19

Рис. 4.19. Поверхность функции отклика

Составляем план ПФЭ 2²

Вначале найдем коэффициенты сокращенного линейного полинома вида

и результаты вычислений по нему.

Рассчитываем коэффициенты полинома.

;

;

.

Полином имеет вид

.

Результаты расчета по нему приведены в соответствующем столбце плана. Наблюдаются расхождения между Y и . Если точность сокращенного полинома не удовлетворяет, то по тем же результатам опытов можно сформировать более полный полином вида

.

При этом ранее определенные коэффициенты остаются без изменений. Определим коэффициент при дополнительном члене полинома

.

Полином имеет вид

.

По нему рассчитываем предсказанные значения отклика в точках плана (столбец ). Поверхность, построенная по полученному полиному, проходит точно через четыре точки плана ( =0), по которым определены коэффициенты. Однако в других точках области определения функции, например в центре плана (точка 5 в плане, х₁=0, х₂=0), предсказанные и действительные значения, могут не совпадать ( =3).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:

1. Что называется активным экспериментом?

2. В чем заключается операция кодирование факторов?

3. В каком случае возможно разложение в степенной ряд функции отклика?

4. Как определяются коэффициенты линейного полинома?