Розділ 4 . Моделі задач масового обслуговування.

Усю сукупність розроблених і використовуваних у конкретний прикладних дослідженнях моделей масового обслуговування доцільно вивчати з позицій:

• Характеристики вхідного потоку заявок;

• Характеристики розподілу часу надходження заявок;

• Характеристики розподілу часу обслуговування однієї заявки;

• Характеристики вихідного потоку заявок (або різниці процесу обслуговування).

Системи масового обслуговування прийнято ідентифікувати по формату: (a | b | c):(d | e | f).

a – закон розподілу моментів надходження заявок на обслуговування;

b – закон розподілу часу обслуговування заявок (тобто вибуття клієнта, який вже обслужили);

c – кількість каналів обслуговування, що працюють паралельно;

(c=1,2,3… );

d–характеристика дисципліни черзі (ПЕРППО, ПОСПО, СОЗ …);

e – максимальна кількість заявок, що сприймає його (кількість заявок у черзі + кількість заявок, узятих на обслуговування);

f – обсяг джерела генерації заявок на обслуговування. Найбільш вивченим і часто прийнятою у системах є найпростіший потік вхідних заявок. Його основними характеристиками є стаціонарність, ординарність і відсутність наслідку.

Стаціонарність потоку характеризується тим, що імовірність надходження в систему за інтервал часу t визначеної кількості заявок залежить тільки від довжини цього інтервалу і не залежить від того, де даний інтервал розташований на осі часу.

Ординарність потоку означає, що імовірність надходження однієї заявки в даний момент часу набагато вище, ніж імовірність надходження двох, трьох і більш заявок.

Відсутність наслідку характеризує наступну властивість потоку: кількість заявок, що надходять у систему за визначений інтервал часу не залежать від кількості заявок, що надійшли в СМО раніш.

Мета розробки моделей систем та процесів масового обслуговання - побудова та аналіз критеріїв ефективності функціонування даних систем.

Як приклад розглянемо модель масового обслуговання типу (M/M/n):(GD/m/m), n<m, яку часто називають також моделлю обслуговання машинного парку.

Тут M означає пауссонівський (або марковський) розподіл моментів надходження заявок на обслуговання та вибуття із системи обслуговання клієнтів (експоненціальний розподіл інтервалів часу між моментами послідовних надходжень або тривалості обслуговання клієнтів); GD - означає, що дисціплина черги жорстко не регламентується.

Вважаємо, що машинний парк складається з m машин (верстатів) і обслуговується бригадою з n механіків (робітників). Оскільки машина, що вийшла з ладу, не може генерувати заявок на обслуговання під час ремонту, у розглянутій моделі об‘єм джерела вимог необхідно вважати обмеженим. Середня частота виникнення несправностей (зіпсувань) становить К верстатів (K=1,m), а середній час обслуговання 1/=t.

Потрібно оцінити рівень організації праці робітників у бригаді і визначити оптимальний розмір бригади згдіно із заданою кількістю роботи.

Розглянемо числовий приклад розв‘язування цієї задачі.

Приклад 1:

Нехай у цеху, де можуть розміститися 10 верстатів, що потребують ремонту, працюють 6 механіків. Припустимо, що окреми верстати виходять з ладу з частотою 4 верстати за годину. Для усунення несправності механіку потрібно (в середньому) 0,8 години. Розподіл моментів виходу верстатів із ладу є пуассонівським, а термін виконання ремонтних робіт носить експонціальний характер.

Розв‘язування:

З урахування наявних обмежень у задачі відомі параметри:

n=6;

m=10;

=4;

1/=0,8;

1. Визначемо всі можливі складові системи (таблиця 4.1).

Таблиця 4.1.

Стан	Кількість верстатів, що зупиняються, К		Кількість вільних робітників або верстатів у черзі
Вільних робітників
x0		0		6
x1		1		5
x2		2		4		Черги немає,
x3		3		3		1  K  n
x4		4		2
x5		5		1
x6		6		0
Верстатів у черзі
x7	7		1
x8	8		2		Черга є,
x9	9		3		n < K  m
x10	10		4

2. Обчислюємо ймовірність всіх можливих станів.

, де

P₀(t) - ймовірність початкового стану системи;

P_k(t) - ймовірність К-го стану системи.

Величина _k обчислюється так:

, якщо немає черги;

, якщо черга є.

Тут

Маємо:

3. Обчислюємо ймовірність початкового стану.

Оскільки час обслуговування 1-го верстата дорівнює 48 хв., кожні 48 хв. всі робітники будуть вільні:

4.8 * 0.0000003 = 0.00000144 хв.

Усі робітники простоюватимуть щогодини протягом

0.00000144 * 10 = 0.0000144 хв.

За зміну всі робітники простоюватимуть

0.0000144 * 8 = 0.0001152 хв.

або

0.000115200 / 60 = 0.00000192 год.

4. Визначимо ймовірність решти станів:

Звідси:

P₁(t) =32.00 * 0.0000003 = 0.0000096

P₂(t) =460.80 * 0.0000003 = 0.00013824

P₃(t) =3932.16 * 0.0000003 = 0.001179648

P₄(t) =22020.10 * 0.0000003= 0.006606029

P₅(t) =84557.17 * 0.0000003= 0.025367151

P₆(t) =225485.78 * 0.0000003= 0.067645735

P₇(t) =481036.34 * 0.0000003= 0.144310901

P₈(t) =769658.14 * 0.0000003= 0.230897442

P₉(t) =820968.68 * 0.0000003= 0.246290605

P₁₀(t) =437849.96 * 0.0000003= 0.131354989

Отже:

0.0000096+0.00013824+0.001179648+0.006606029+0.025367151+0.067645735+0.144310901+0.230897442+0.246290605+

+0.131354989=0.85

5. Обчислюємо середню кількість вільних робітників за таблицею 4.2:

Таблиця 4.2.

n-k	P(k)
6	0.0000096
5	0.0000096
4	0.0001382
3	0.0011796
2	0.0066060
1	0.0253672

Маємо:

6 * 0.0000096+5 * 0.0000096+4 * 0.0001382+3 * 0.0011796+2 * 0.0066060+1 * 0.0253672=0.04278

6. Визначимо коефіцієнт простою робітників::

7. Визначимо середню довжину черги або середню кількість вимог, які перебувають у черзі за таблицею 4.3.

Таблиця 4.3.

k-n	Pk(t)
1	0.0676457
2	0.1443109
3	0.2308974
4	0.2462906
5	0.1313550

Маємо:

1 * 0.0676457+2 * 0.1443109+3 * 0.2308974+4 * 0.2462906+5 * 0.1313550=2.69090

8. Визначимо коефіцієнт простою вимог (верстатів) у черзі:

Висновок:

Отже, обладнання простоює довше, ніж робітники. Тому потрібно збільшити кількість їх у бригаді. Для поліпшення організації праці робітників введемо до складу бригади двох робітників.

Приклад 2:

Дістанемо нову задачу із вхідними даними:

n=8; m=10;

=4; 1/=0,8;

Розв‘язування:

1. Визначимо всі можливі складові системи (таблиця 4.4).

Таблиця 4.4.

Стан	Кількість верстатів, що зупиняються, К	Кількість вільних робітників або верстатів у черзі
	Вільних робітників
x0	0	8
x1	1	7
x2	2	6
x3	3	5
x4	4	4	Черги немає,
x5	5	3	1  K  n
x6	6	2
x7	7	1
x8	8	0
	Верстатів у черзі
x9	9	1	Черга є,
x10	10	2	n < K  m