Модель управління запасами при підвищеному попиті.
У цій моделі вважається, що попит є випадковою величиною, функція розподілу якої Р() відома. Якщо запас на початок періоду становить y одиниць і попит нижчий від рівня запасу, то (q-) одиниць продукції находить на зберігання із витратами h за одиницю продукції за одиницю часу. Якщо попит вищий від рівня запасу q, то необхідно терміново поставити продукцію із витратами k на її одиницю.
Отже, економічна система при (q-)>0 зазнає витрат зберігання, а при (-q)>0 йдеться про витрати через дефіцит.
Визначимо сумарні витрати, пов‘язані зі зберіганням та постачанням продукції. Оскільки попит - випадкова величина, такі витрати можна визначити як математичне сподівання (коли відомий закон розподілу цієї випадкової величини):
Таким чином, потрібно знайти оптимальне значення запасу q, яке дало б змогу мінімізувати сумарні витрати, пов‘язані зі зберіганням продукції та її дефіцитом.
Можна довести, що мінімум функції витрат досягається в разі, коли (q*) задовольняє систему нерівностей:
Приклад:
Нехай підприємству потрібно придбати ЕОМ, одночасно замовивши кілька запасних частин (план) про запас. Відомо, що 30 машин аналогічної марки та конфігурації працювали без заміни; 20 - із заміною однієї плати; 20 - із заміною двох плат; 10 - із заміною трьох плат; 10 - із заміною чотирьох плат і 10 - із заміною п‘яти плат.
Визначити, скільки запасних плат необхідно придбати підприємству, коли відомо, що вартість виготовлення однієї плати 2000 тис. грн., а її зберігання - 500 тис. грн.
Розв‘язування:
Знайдемо ймовірність виходу плати із ладу (таблиця 3.3.1).
Таблиця 3.3.1
Запас q* |
Попит |
Імовірність того, що попит дорівнює , Р() |
Імовірність того, що попит менший чи дорівнює, P(q*) |
0 |
0 |
0,30 |
0,30 |
1 |
1 |
0,20 |
0,50 |
2 |
2 |
0,20 |
0,70 |
3 |
3 |
0,10 |
0,80 |
4 |
4 |
0,10 |
0,90 |
5 |
5 |
0,10 |
1,00 |
Оптимальний запас (q*) можна визначити з нерівності
,
а саме:
Звідси 
або P( 3) < 0.8 < P( 4)
Отже, оптимальна кількість запасних плат, що їх має придбати підприємство, q*=4.
Наведемо також числове розв‘язання цієї задачі:
Для q = 0 маємо:
F(0)=0+2000[(1-0)*P(1)+(3-0)*P(2)+(3-0)*P(3)+(4-0)*P(4)+
+(5-0)*P(5)]=3600;
Для q = 1 маємо:
F(1)=500[(1-0)*P(0)+(1-1)*P(1)+2000[(2-1)*P(2)+(3-1)*P(3)+ +(4-1)*P(4)+(5-1)*P(5)]=2350;
Для q = 2 маємо:
F(2)=500[(2-0)*P(0)+(2-1)*P(1)+(2-2)*P(2)+(3-1)*P(3)+
+(4-1)*P(4)+(5-1)*P(5)]=2350;
Для q = 3 маємо:
F(3)=500[(3-0)*P(0)+(3-1)*P(1)+(3-2)*P(2)+
+(3-3)*P(3)]+2000[(4-3)*P(4)+(5-3)*P(5)]=1350;
Для q = 4 маємо:
F(4)=500[(4-0)*P(0)+(4-1)*P(1)+(4-2)*P(2)+(4-3)*P(3)+
+(4-4)*P(4)+2000(5-4)*P(5)]=1350;
Для q = 5 маємо:
F(5)=500[(5-0)*P(0)+(5-1)*P(1)+(5-2)*P(2)+(5-3)*P(3)+
+(5-4)*P(4)+(5-5)*P(5)]=1650;
Висновок:
Fmin = F(4) = 1350, що відповідає значенню q* = 4.
Варіанти індивідуальних завдань
Варіант № 1.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
40 машин працювали без заміни жодної деталі,
20 - із заміною однієї деталі,
10 -двох деталей
20 - трьох деталей
10 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -2000 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 300 грн.
Варіант № 2.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
20 машин працювала без заміни жодної деталі,
10 - із заміною однієї деталі,
20 - двох деталей,
15 - трьох деталей,
15 - чотирьох деталей,
20 - п'яти деталей.
Визначити, скільки власних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1800 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 200 грн.
Варіант № 3.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
50 машин працювали без заміни жодної деталі,
20 - із заміною однієї деталі,
10-двох деталей
20 - трьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1500 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 210 грн.
Варіанті № 4.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
5 машин працювали без заміни жодної деталі,
30 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
10 - трьох деталей,
20 - чотирьох деталей,
20 - п'яти деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1000 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом -100 грн.
Варіант № 5.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
20 машин працювали без заміни жодної деталі,
20 - із заміною однієї деталі,
20 - двох деталей,
20 - трьох деталей,
20 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки власних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1700 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 280 грн.
Варіант № 6.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
10 машин працювали без заміни жодної деталі,
25 - із заміною одній деталі,
35 -двох деталей,
30 - трьох деталей.
Визначити, скільки власних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -500 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом - 50 грн.
Варіант № 7.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
25 машин працювали без заміни жодної деталі,
35 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
15 - трьох деталей,
10 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки власних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -700 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом - 110 грн.
Варіант № 8.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
60 машин працювали без заміни жодної деталі,
5 - із заміною однієї деталі,
10 -двох деталей
15 - трьох деталей
10 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1300 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом -150 грн.
Варіант № 9.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
35 машин працювала без заміни жодної деталі,
35 - із заміною однієї деталі,
5 - двох деталей,
10 - трьох деталей,
10 - чотирьох деталей,
5 - п'яти деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1600 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом - 250 грн.
Варіант № 10.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
20 машин працювали без заміни жодної деталі,
25 - із заміною одній деталі,
25 - двох деталей,
15 - трьох деталей,
15 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -950 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 130 грн.
Варіант № 11.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
15 машин працювали без заміни жодної деталі,
25 - із заміною однієї деталі,
15 -двох деталей,
45 - трьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -200 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом - 30 грн.
Варіант №12.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
20 машин працювали без заміни жодної деталі,
20 - із заміною однієї деталі,
20 - двох деталей,
20 - трьох деталей,
10 - чотирьох деталей,
10 - п'яти деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1150 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 210 грн.
Варіант №13.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
35 машин працювали без заміни жодної деталі,
15 - із заміною однієї деталі,
10 - двох деталей
20 - трьох деталей
20 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1400 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом -180 грн.
Варіант № 14.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
20 машин працювали без заміни жодної деталі,
20 - із заміною однієї деталі,
10 - двох деталей,
10 - трьох деталей,
15 - трьох деталей
5 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1450 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом -160 грн.
Варіант № 15.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
45 машин працювали без заміни жодної деталі,
25 - із заміною однієї деталі,
10 - двох деталей,
20 - трьох деталей,
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1550 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом - 240 грн.
Варіант № 16.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
15 машин працювали без заміни жодної деталі,
15 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
15 - трьох деталей,
20 - трьох деталей
20 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -600 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом -120 грн.
Варіант № 17.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
25 машин працювали без заміни жодної деталі,
25 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
25 - трьох деталей,
10 - трьох деталей
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1100 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом -240 грн.
Варіант № 18.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
45 машин працювали без заміни жодної деталі,
25 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
15 - трьох деталей,
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі - 400 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом -80 грн.
Варіант № 19.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що .
65 машин працювали без заміни жодної деталі,
25 - із заміною однієї деталі,
5 - двох деталей,
5 - трьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -200 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 20 грн.
Варіант № 20.
Підприємству потрібно придбати малину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
20 машин працювали без заміни жодної деталі,
50 - із заміною однієї деталі,
10 -двох деталей,
10-трьох деталей,
10 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -900 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом -190 грн.
Варіант № 21.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
15 машин працювали без заміни жодної деталі,
15 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
20 - трьох деталей,
20 - чотирьох деталей,
15 - п'яти деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі - 450 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 70 грн.
Варіант № 22.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
65 машин працювали без заміни жодної деталі,
5 - із заміною однієї деталі,
10 -двох деталей,
10 - трьох деталей,
10 - чотирьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1350 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 95 грн.
Варіант № 23.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
45 машин працювали без заміни жодної деталі,
15 - із заміною однієї деталі,
25 - двох деталей
15 - трьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї легат - 200 гри., а витрати через перевищення запасу над попитом - 30 грн.
Варіант № 24.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
10 машин працювали без заміни жодної деталі,
20 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
20 - трьох деталей,
20 - чотирьох деталей,
15 - п'яти деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі - 650 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 45 грн.
Варіант № 25.
Підприємству потрібно придбати машину, одночасно замовивши кілька одиниць запасних частин (деталей) про запас. Відомо, що :
35 машин працювали без заміни жодної деталі,
15 - із заміною однієї деталі,
15 - двох деталей,
35 - трьох деталей.
Визначити, скільки запасних елементів слід придбати підприємству, якщо вартість однієї деталі -1900 грн., а витрати через перевищення запасу над попитом - 290 грн.