Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела Jотносительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где   — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

[Править]Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

24 Кинетическая энергия вращающегося тела.

  Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

,

(6.4.1)

       Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью  , то линейная скорость i-й точки  , R_i – расстояние до оси вращения. Следовательно,

,

(6.4.2)

       Сопоставив (6.4.1) и (6.4.2), можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.         В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью  v_c  и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела

,

(6.4.3)

       Здесь I_c – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

25 Момент импульса. Закон сохранения импульса.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:    где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Модуль вектора момента импульса    где α - угол между векторами r и р, l - плечо вектора р относительно точки О.  Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.  При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_iсо скоростью v_i . Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора m_iv_i . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен  (1)  и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. 

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде:  , если система находится в равновесии.

27 Сходство и различие угловых и линейных характеристик движения

 Основные величины и уравнения кинематики и динамики вращательного движения легко запоминаются, если сопоставить их с величинами и уравнениями поступательно движения (см. табл. 6.1).

Поступательное движение		Вращательное движение
Путь		Угол поворота
Скорость		Угловая скорость	ω = ω0 ± εt
Ускорение		Угловое ускорение
Основное уравнение динамики поступательного движения		Основное уравнение динамики вращательного движения
Импульс		Момент импульса
Закон сохранения импульса		Закон сохранения момента импульса
Работа	A = F·S	Работа вращения	A = M·φ
Мощность	P = F·υ	Мощность вращения	P = F·ω
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия вращающегося тела
Энергия тела, катящегося с высоты h
Потенциальная энергия сжатой пружины
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия		,       U = mgh

28 Закон всемирного тяготения. Определение Кавндишем гравитационной постоянной

Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньюто́на (Зако́н всео́бщего тяготе́ния Ньюто́на) — закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном в 1666 году. Он гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы   и  , разделёнными расстоянием  , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть:

Здесь   — гравитационная постоянная, равная   м³/(кг с²).

29. Поле тяготения. Напряженность гравитационного поля.

Напряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения, действующей на тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела:

Гравитацио́нное по́ле, или по́ле тяготе́ния — физическое поле, через которое осуществляется гравитационное взаимодействие

30 Работа в поле сил тяготения. Потенциал поля тяготения. Инертная и гравитационная массы в ньютоновской механике

Силы тяготения являются консервативными. Это значит, что работа в поле этих сил пропорциональна произведению масс m и M материальных точек и зависит только от начального и конечного положения этих точек. Покажем это на простом примере (рис. 7.2).

       Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём материальной точки массой m (работу по удалению материальной точки массой m от Земли массой Mна расстояние r).

На данную точку в положении 1 действует сила  .

  рис. 7.2

       При перемещении этой точки на расстояние dr, совершается работа

(знак минус показывает, что сила и перемещение противоположны). Тогда общая работа

(7.3.1)

       Эта формула показывает, что затраченная работа не зависит от траектории, а зависит лишь от координат точки. Следовательно, работа консервативных сил при перемещении точки mвдоль произвольного замкнутого контура L тождественно равна нулю:

,         или          .

(7.3.2)

       Эти интегралы называются циркуляцией соответствующих векторов   и   вдоль замкнутого контура. Равенство нулю этих циркулирующих векторов является необходимым и достаточным признаком консервативности силового поля  .

       Из (7.3.1) следует, что работа А, совершенная консервативными силами, равна уменьшению потенциальной энергии системы.

       В нашем случае работа равна уменьшению потенциальной энергии U материальной точки, перемещающейся в поле тяготения.

A12 = –ΔU = U1 – U2         или         dA = – dU.

(7.3.3)

       В случае поля тяготения, создаваемого материальной точкой с массой M

(7.3.4)

       При рассмотрении гравитационного поля Земли формулу (7.3.4) можно переписать в виде:

(7.3.5)

       На рис. 7.3 показана зависимость гравитационной потенциальной энергии от расстояния до центра Земли.

  Рис. 7.3

       Принято считать, что потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю. Штрихованной линией показана потенциальная энергия внутри Земли. При  r = 0 в центре Земли  

       Если условиться считать, что потенциальная энергия точки m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от источника поля точки M, тогда

         и          ,

или, в силу произвольности выбора точки 1,

.

       Величину U называют взаимной потенциальной энергией обеих точек.

       Величина  φ, равная отношению потенциальной энергии матери-альной точки в поле тяготения к массе m,       

(7.3.6)

       является энергетической характеристикой самого поля тяготения и называется потенциалом поля тяготения.

       По аналогии с электростатическим полем, роль заряда здесь выполняет масса m.

       Потенциал поля тяготения, создаваемый одной материальной точкой с массой M, равен   , где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.

       Из сопоставления двух последних соотношений следует

(7.3.7)

т.е. потенциал в некоторых точках поля, являющегося результатом наложения полей, равен сумме потенциалов в этой точке, соответствующих каждому из полей в отдельности (принцип суперпозиции).

       Между двумя характеристиками поля тяготения – напряженностью и потенциалом – существует взаимосвязь.

       Вектор напряженности   может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала  φ:

Знак минус показывает, что в каждой точке поля тяготения вектор напряженности   направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Здесь

есть вектор, называемый градиентом потенциала.

       Гравитационное поле можно изобразить с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (рис. 7.4).         Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Линии напряженности   (силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

       Графическая зависимость напряженности гравитационного поля Земли (и ускорения а) от расстояния до центра Земли изображена на рисунке 7.5.

       Из рисунка видно, что внутри Земли   растет пропорционально r, а вне Земли убывает   . Так же и ускорение   – внутри Земли;   – вне Земли.

       Закон всемирного тяготения и механика Ньютона явились величайшим достижением естествознания. Они с большой точностью описывают обширный круг явлений, в том числе движение в иных системах небесных тел – двойных звезд в звездных скоплениях, галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование планеты Нептун, спутников Сириуса и др. В астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движение, строение и эволюция небесных тел. Однако, в некоторых случаях, поле тяготения и движение физических объектов в полях тяготения не может быть описано законами Ньютона. Сильные гравитационные поля и движение в них с большими скоростями   описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.

В современной физике понятие «количество вещества» имеет другой смысл, а концепцию «массы» можно трактовать несколькими способами:

• Пассивная гравитационная масса показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями — фактически эта масса положена в основу измерения массы взвешиванием в современной метрологии.

• Активная гравитационная масса показывает, какое гравитационное поле создаёт само это тело — гравитационные массы фигурируют взаконе всемирного тяготения.

• Инертная масса характеризует инертность тел и фигурирует в одной из формулировок второго закона Ньютона. Если произвольная сила винерциальной системе отсчёта одинаково ускоряет разные исходно неподвижные тела, этим телам приписывают одинаковую инертную массу.

Гравитационная и инертная массы равны друг другу (с высокой точностью — порядка 10⁻¹³ — экспериментально^[1][2], а в большинстве физических теорий, в том числе всех, подтверждённых экспериментально — точно), поэтому в том случае, когда речь идёт не о «новой физике», просто говорят о массе, не уточняя, какую из них имеют в виду.

31 Законы Кеплера. Космические скорости.

Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 7.6).

  Рис. 7.6

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади (рис. 7.7).

Рис. 7.7

Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

(7.5.1)

       Почти все планеты (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Для круговых орбит первый и второй законы Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что  T² ~ R³ (Т – период обращения; R – радиус орбиты).

       Ньютон решил обратную задачу механики и из законов движения планет получил выражение для гравитационной силы:

(7.5.2)

       Как нам уже известно, гравитационные силы являются силами консервативными. При перемещении тела в гравитационном поле консервативных сил по замкнутой траектории работа равна нулю.         Свойство консервативности гравитационных сил позволило нам ввести понятие потенциальной энергии.

       Потенциальная энергия тела массы m, расположенного на расстоянии r от большого тела массы М, есть

(7.5.3)

Здесь знак минус указывает, что гравитационные силы являются силами притяжения.

       Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна:

(7.5.4)

       Таким образом, в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

       Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела.

       При  E < 0  тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние  r₀ < r_max . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы) (рис.7.8)

  Рис. 7.8

       Период обращения небесного тела по эллиптической орбите равен периоду обращения по круговой орбите радиуса R, где R – большая полуось орбиты.

       При  E = 0  тело движется по параболической траектории. Скорость тела на бесконечности равна нулю.

       При  E< 0  движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

       Первой космической скоростью называется скорость движения тела по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Для этого, как следует из второго закона Ньютона, центробежная сила должна уравновешиваться гравитационной силой:

отсюда

       Второй космической скоростью называется скорость движе-ния тела по параболической траектории. Она равна минимальной скорости, которую нужно сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев земное притяжение, стало искусственным спутником Солнца (искусственная планета). Для этого необходимо, чтобы кинетическая энергия была не меньше работы по преодолению тяготения Земли:

отсюда

       Третья космическая скорость – скорость движения, при которой тело может покинуть пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца:

υ₃ = 16,7·10³ м/c.

32 Релятивистская механика. Постулаты специальной теории относительности

Постулаты СТО

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. В частности отсюда следует, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна, то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО (иногда это и принимают за определение ИСО).

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника. Поскольку источник имеет разные скорости в разных ИСО, то это означает, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах. Данный постулат также может быть сформулирован как принцип существования предельной (максимальной) скорости распространения взаимодействий, которая, в силу первого постулата должна быть одинаковой во всех ИСО.

Кроме указанных основных постулатов, предполагается (как и в классической механике) также однородность пространства и времени и изотропность пространства.

Таким образом, в Эйнштейновской теории относительности принцип относительности распространяется на все явления природы (не только на механические, как в принципе относительности Галилея), в том числе на явления распространения света. А согласно уравнениям Максвелла, скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Принцип относительности в таком случае говорит, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должны быть постоянной во всех ИСО.

Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно - закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущения одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно бытьотносительным - неодинаковым в разных ИСО. Относительным становится также и понятие "одновременности" событий.

Нобходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилеяпривела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа  , возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначальна строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитных полей. Даже если бы фотонимел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость   и скорость света  ^[8]. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия. В связи с этим второй постулат можно переформулировать как существование некоторой скорости  , одинаковой во всех ИСО или существования предельной (максимальной) скорости движения.

После построения Эйнштейном СТО на основе вышеуказанных постулатов, многие исследователи пытались отказаться от второго постулата вообще. Спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам Игнатовского^[9], Ф.Франка и Г.Роте^[10] (см. исторический очерк) стал известен способ получения общего вида (с точностью до неопределенной константы)преобразований Лоренца без использования второго постулата. При "правильном" знаке неопределенного параметра эти преобразования совпадают с преобразованиями Лоренца. Из этого следует наличие максимальной скорости, одинаковой во всех ИСО. Тем не менее, знак этой константы из предложенных аксиом никак не следует. Предлагается оценивать значение параметра экспериментально. Чтобы измерить этот параметр, а значит и фундаментальную скорость  , нет необходимости проводитьэлектродинамические эксперименты. Можно, например, на основе измерений скорости одного и того же объекта в разных ИСО и воспользоваться законом сложения скоростей с неопределенным параметром ^[11]. Необходимо, однако, отметить, что экспериментальное "вычисление" знака неопределенной константы фактически эквивалентно предположению о наличии максимальной скорости, то есть по существу второму постулату.

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

33 Преобразование для координат и времени в классической и релятивисткой механике

34 Лоренцево сокращение длины, понятие одновременности в СТО

Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращение длины движущегося тела или масштаба — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы имеют меньшую длину (линейные размеры в направлении движения), чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

35 Релятивистское сложение скоростей

Теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Правило сложение скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца:

Можно заметить, что в случае, когда  , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Это объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является уточнением второй.

36 Релятивистский импульс, сила, масса и энергия.