Релятивистский импульс
Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время τ.
Тогда 
.
Релятивистское выражение для энергии
В релятивистской механике справедливым остается выражение
.
Это
означает, что 
.
Откуда видно, что сила не является
инвариантной величиной. Кроме того,
сила F и
ускорение a не
коллениарны.
Легко получить выражение для кинетической энергии. Поскольку
dEk = dA и dEk = v·p·dt, dA = F·ds
.
Отсюда следует, что E0 = mc2 является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:
Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости механики Ньютона.
Понятие релятивистской массы
После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может интерпретироваться двояко. С одной стороны, это инвариантная масса, которая — именно в силу инвариантности — совпадает с той массой, что фигурирует в классической физике, с другой — можно ввести так называемую релятивистскую массу, эквивалентную полной (включая кинетическую) энергии физического объекта[4]:
.
где 
—
релятивистская масса,
—
полная энергия объекта.
Для массивного объекта (тела) эти две массы связаны между собой соотношением:
где
—
инвариантная («классическая») масса, 
—
скорость тела.
Энергия и релятивистская масса — это одна и та же физическая величина (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса).[7]
Эквивалентность
релятивистской массы и энергии означает,
что во всех системах отсчёта энергия
физического объекта (с точностью до
множителя 
)
равна его релятивистской массе.[7][19]
Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между трёхмерным («классическим») импульсом и скоростью тела[4]:
Аналогичное соотношение выполняется в классической физике для инвариантной массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Это в дальнейшем привело к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения.[20]
В
процессе создания теории относительности
обсуждались понятия продольной и
поперечной массы массивной частицы
(тела). Пусть сила, действующая на тело,
равна скорости изменения релятивистского
импульса. Тогда связь силы
и
ускорения 
существенно
изменяется по сравнению с классической
механикой:
Если
скорость перпендикулярна силе, то 
а
если параллельна, то 
где 
— релятивистский
фактор.
Поэтому 
называют
поперечной массой, а 
—
продольной.
Утверждение о том, что масса зависит от скорости, вошло во многие учебные курсы и в силу своей парадоксальностиприобрело широкую известность среди неспециалистов. Однако в современной физике избегают использовать термин «релятивистская масса», используя вместо него понятие энергии, а под термином «масса» понимая инвариантную массу (покоя). В частности, выделяются следующие недостатки введения термина «релятивистская масса»[8]:
неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;
синонимичность понятий энергия и релятивистская масса, и, как следствие, избыточность введения нового термина;
наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналога второго закона Ньютона в виде
методологические сложности преподавания специальной теории относительности, наличие специальных правил, когда и как следует пользоваться понятием «релятивистская масса» во избежание ошибок;
путаница в терминах «масса», «масса покоя» и «релятивистская масса»: часть источников просто массой называют одно, часть — другое.
Несмотря на указанные недостатки, понятие релятивистской массы используется и в учебной,[21] и в научной литературе. Следует, правда, отметить, что в научных статьях понятие релятивистской массы используется по большей части только при качественных рассуждениях как синоним увеличения инертности частицы, движущейся с околосветовой скоростью.