Релятивистская энергия.

 

 Теорема о кинетической энергии, которую мы доказали в ньютоновской механике, верна также и для релятивистской частицы. Необходимо только видоизменить формулу кинетической энергии частицы

 

 

                                                ,                                                     (8.1)

 

 

и получить релятивистское выражение для кинетической энергии. Воспользуемся с этой целью формулой релятивистской массы

 

 

                                        .                                            (8.2)

 

 

Подставляя сюда   и возводя в квадрат, получим

 

 

                                          .                                        (8.3)

 

 

Дифференцируя это выражение, учитывая, что масса покоя m величина постоянная, будем иметь

 

.

 

Учитывая в левой части соотношение  , получим

 

                                                                                                         (8.4)

 

 

С другой стороны, формулу работы можно преобразовать следующим образом:

 

 

                      ,                                    (8.5)

 

 

где мы воспользовались основным уравнением релятивистской динамики

 

 

                                                                                               (8.6)

 

 

и соотношениями 

Формула (8.5), полученная для механической работы, верна как в классической, так и в релятивистской механике.  Для ее расчета необходима связь между скоростью и импульсом частицы. В релятивистской механике, учитывая формулу (8.4)  в подынтегральном выражении (8.5), будем иметь

 

          .                                              (8.7)

 

Здесь    и   - значения массы частицы в начальном и конечном состояниях.

Значит, в релятивистской механике работа, совершенная силой, определяется только приращением релятивистской массы частицы и только ею. Если движение частицы начиналось из состояния покоя, то   и, обозначив конечную скорость через  , для работы (8.7) будем иметь

 

 

            .                                 (8.8)

 

 

Здесь выражен тот факт, что, согласно теореме о кинетической энергии, эта работа идет на увеличение кинетической энергии частицы. Учитывая в (8.8) нормировку кинетической энергии: в состоянии покоя  , получим

 

. Это и есть формула релятивистской кинетической энергии. В случае малых скоростей, разложив выражение знаменателя формулы (8.9) в ряд по  степеням малой величины  :

 

                                                 

             

и пренебрегая членами порядка выше  , из (8.9) получим ньютоновское выражение кинетической энергии (8.1).

Введем обозначение

 

                                                    ,                                            (8.10)

 

и назовем эту величину полной или релятивистской энергией частицы. Тогда из формулы (8.9) будем иметь

 

                           ,                                (8.11)

 

где величина

 

                                                                                               (8.12)

 

является релятивистской энергией частицы в состоянии покоя и называется энергией покоя. Графики, приведенные на рис. 8.1, выражают зависимости ньютоновской и релятивистской кинетических энергий от скорости. Как и для других классических и релятивистских величин, здесь также разница между ними становится существенной при скоростях близких к скорости света. Причем, все релятивистские величины превышают по значению соответствующие ньютоновские величины.

 

Рис. 8.1

 

Поскольку релятивистская и кинетическая энергии отличаются друг от друга на постоянную величину (энергию покоя), то теорема о кинетической энергии верна также  для релятивистской энергии:

 

                                 .