2.2.3. Шкала отношений. При сравнении между собой двух размеров по правилу

(2.12)

размер Qj, стоящий в знаменателе, выступает в качестве единицы измерения, поскольку частное от деления qi показывает, сколько размеров Qj; укладывается в размере Qi. Для обеспечения един­ства измерений естественно в качестве размера Qj выбрать сразу узаконенную единицу [Q]. Тогда

(2.13)

Расположенные в порядке возрастания или убывания числовые значения q, полученные по формуле (2.13), или значения Q = q[Q] образуют шкалу отношений. Она простирается от 0 до  и в отличие от шкалы интервалов не имеет отрицательных зна­чений.

Шкала отношений является самой совершенной, наиболее ин­формативной. На ней определены все математические действия, включая сложение, вычитание, умножение и деление. Отсюда сле­дует, что значения ('или числовые значения) любых размеров да шкале отношений можно складывать между собой, вычитать, пе­ремножать или делить.

Следовательно, можно определить, насколько или во сколько раз один размер (значение либо числовое значение) больше или меньше другого.

Пример 2.9. Известны масса товара без упаковки (нетто) mн=320г, мас­са упаковки mу=40г. Поскольку оба размера заданы по шкале отношений, можно найти их сумму

mн + mн =320+40=360 г,

определив тем самым массу брутто mб (массу товара с упаковкой). Можно найти также частное

которое показывает, во сколько раз масса нетто больше массы упаковки.

Пример 2.10. Груз имеет массу Qмг = 1O⁴ т (единичный показатель транспор­табельности), максимальная грузоподъемность универсальных сухогрузных су­дов Qj т (единичный показатель качества). Поскольку оба размера за­даны по шкале отношений, можно найти их разность

Qгп – Qмг =2*1O⁴ - 1O⁴ = 1O⁴ т,

определив тем самым, насколько один размер меньше другого (.недогруз судна). Можно вычислить частное этих размеров:

что позволяет узнать, во сколько раз один размер меньше другого (судно за­гружено только наполовину).

Пример 2.11. На с. 29 приведена формула для расчета показателя транс­портабельности лесопиломатериалов - объема пучка

V = BHLkn.

Входящие в эту формулу единичные показатели Качества имеют значения: В = 2,56 м; Н = 2,06 м; L=6,5 м; Кп = 0,7.

Поскольку все размеры заданы по шкале отношений, можно, подставив их и формулу, найти значение показателя качества

V = 2,56*2,06*6,5*0,7 = 24 м³.

Выражение (2.13)—теоретическая модель измерения размера Q по шкале отношений. Поскольку шкала отношений является частным случаем шкалы интервалов (при Qj=0 — см. п. 2.2.2), воспользуемся результатами, полученными в предыдущем разде­ле.

Рассмотрим задачу измерения интервала но шкале отношений. Согласно формулам (2.4) и (2.13), получим

(2.14)

Анализ этого уравнения показывает, что последовательность операций при измерении должна быть такой: сначала определение интервала по формуле (2.4) с помощью устройства сравнения, а затем числового значения этого интервала по формуле (2.14) с по­мощью отсчетного устройства (см. рис. 2.6).

Другая последовательность операций

(2.15)

может быть только при вычислении интервала по измеренным зна­чениям Qi и Qj. Таким образом, структурная схема средства изме­рений остается прежней.

На практике работа устройства сравнения и отсчетного устрой­ства происходит в условиях помех. По аналогии с выражением (2.9)

Qi -Qj=Qi - M. (2.16)

Продолжая аналогию, можно сказать, что уравнение (2.16) яв­ляется условием равновесия рычажных весов, показанных на рис. 2.1. Масса уравновешивающего груза Qi определяется по шкале отношений с помощью отсчетного устройства. Им в данном слу­чае могут быть пружинные весы (динамометр). На взвешивание (для сравнения с единицей массы—килограммом) поступает груз, имеющий массу Qi —M. Условие равновесия пружинных весов при аддитивной помехе:

(2.17)

Здесь случайное число x , называемое отсчетом по шкале от­ношений, не равно числовому значению интервала q из-за влия­ния помех.

Выражение (2.17) можно представить следующим образом:

или

Qi = x[Q] + [Q] + [Q]. (2.18)

Размер интервала Qi выражен здесь в единицах измерения [Q]. По определению это значение интервала

q[Q] = x[Q] + [Q] + [Q]. (2.19)

Переходя к обычным обозначениям, получим для 'показания средства измерений

X = Q – M – H

—выражение, аналогичное формуле (2,10).

В каждом измерительном эксперименте показание является случайным, подчиняется тому же закону распределения вероят­ности, что и отсчет, но

Dim X = dim Q ,

в то время как отсчет—безразмерное число.

Равенство (2.19) выполняется точно, ибо отличие показания от левой части уравнения, обусловленное влиянием различных факторов, компенсируются вторым и третьим слагаемыми в пра­вой части. Внесение в показание поправки

__ __

M + H

дает результат

Q = X + ,

идентичный ранее полученному (см. формулу 2.11). В первом слу­чае результат измерения по шкале интервалов показывает, на сколько единиц измерения один размер больше другого; во вто­ром случае результат измерения интервала по шкале отношений показывает, во сколько раз размер интервала больше единицы из­мерения. При Qj = 0 и Q = Qi - Qj оба результата оказываются тождественными. В этом случае из формулы (2.17) следует, что

(2.20)

где M — интерпретируется как изменение Q под действием влия­ющих факторов (увеличение массы расфасованных продуктов при взвешивании их в продмаге за счет оберточной бумаги; из­менение длины металлического стержня в зависимости от темпе­ратуры и т. п.).

Выражение (2.20) служит математической Моделью измерения Q по шкале отношений в условиях аддитивных помех. Не повторяя выкладок, можно сразу сказать, что результат измерения

Q = X +  (2.21)

получается после внесения в показание средства измерений по­правки и является случайным. На шкале отношений он изобража­ется интервалом, ширина которого зависит от точности и досто­верности измерений.

Строго говоря, в выражениях (2.17) и (2.20) следовало бы учесть и изме­нение размера единицы измерения [Q] из-за влияния различных факторов. Вы­ражение (2.17) приняло тогда бы вид:

если по прежнему ограничиться лишь аддитивным влиянием. Полагая для про­стоты М=0, получим

Q = x[Q] + xK + [Q] + K

Сравнив это выражение с формулой (2.18), можно заметить характерное изменение составляющих поправки к показанию x[Q] средства измерений. Сре­ди аддитивных составляющих, не зависящих от показания, появляется состав­ляющая xK., связанная с ним линейной зависимостью. Такая составляющая от­носится к мультипликативным.

Пример 2.12, Стальной рулеткой класса точности 0,1 с верхним пределом измерения 10 м измерена длина комнаты 1 и снято показание X = 560 см. Чему равна длина комнаты, если поправку можно считать равной нулю?

Решение. По известному классу точности и верхнему пределу измерений • мож'но найти полуинтервал

±= 10^-3 • 10³ СМ== 1 CM

и границы 559...561 см, в пределах которых находится длина комнаты. Графи­чески это можно представить, как на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Результат измерения по шкале отношении при заданном классе точности средства измерений

Пример 2.13. Стальной рулеткой измерена ширина комнаты и снято пока­зание Х=350 см. Априори известно также, что закон распределения вероятности показания нормальный со средним квадратическим отклонением x = 0,25 см. Чему равна ширина комнаты, если поправку к показанию можно считать рав­ной нулю?

Решение. Чтобы определить доверительные границы, надо задаться доверительной вероятностью, например, Pg = 0,95. Тогда для Pg  0,95 по графику (см. рис. 2.8) находят t = 2, а затем определяют доверительные границы X±t x = (350±0,5) см. Между этих границ находится значение ширины комнаты. Гра­фически этот случай показан на рис. 2.10. .

Рис. 2.10. Результат измерения по шкале отношений при на­личии априорной информации о законе распределения вероятности показания

Пример 2.14. Определить высоту комнаты h с достоверностью (доверитель­ной вероятностью) Pg=0,95; 0,99; 0,997, если получено одно единственное зна­чение показания X, которое подчиняется нормальному закону распределения ве­роятности со средним квадратическим отклонением Ох, и поправка в него не вносится.

Решение. Как следует из графика на рис. 2.8,

с вероятностью 0,997 X-3xh X+3x;

с вероятностью 0,99 X-2,6xh X+2,6x;

с вероятностью 0,95 X-2xh X+2x;

На рис. 2.11 показана соответствующая этим случаям ширина доверитель­ного интервала, которая выражается через параметр t, определяемый по графи­ку на рис. 2.8.

Рис. 2.11. Результат измерения по шкале отношений• с разной достоверностью

2.3. Обработка экспериментальных данных, полученных инструментальным методом

Во многих случаях качество результатов однократного из­мерения, полученного посредством разового измерительного экспе­римента, оказывается неудовлетворительным. Например, ширина интервалов на рис. 2.7, 2.9, 2.11, которыми представлены резуль­таты однократных измерений, может быть неприемлемой. Каче­ство результата измерения Можно повысить путем многократного выполнения измерительного эксперимента, обработки эксперимен­тальных данных и представления их в виде результата многократ­ного измерения.

Существует несколько способов накопления (увеличения объе­ма) экспериментальных данных.

1. Многократное измерение одного и того же интервала или размера конкретного экземпляра 0'бъе'кта исследований одним и тем же средством измерений применяется тогда, когда объект исследований не меняется во времени и измеряемые интервал ли­бо размер в процессе измерения остаются постоянными. Примером может служить измерение линейных (угловых) размеров детали, когда созданы постоянные условия измерения (температура, дав­ление, влажность и др.).

2. Одновременное измерение одного и того Же интервала или размера у конкретного эк­земпляра объекта исследовании разными сред­ствами измерений применяется тогда, когда у экземпляра объекта исследований свойства меняются во времени и измеряе­мые интервал либо размер не остаются постоянными. Измерение их несколькими средствами измерений в каждый момент времени позволяет исследовать динамику изменения свойств несколькими средствами измерений точнее, чем одним. Например, одновремен­ное измерение температуры нагреваемой (охлаждаемой) жидко­сти разными по классу точности термометрами, измерение осве­щенности на рабочем месте несколькими люксметрами разного класса точности.

3. Многократное измерение одного и того же интервала или размера у конкретного экземп­ляра объекта исследовании разным и средcтвами измерений в разное время применяется тогда, когда уникальный экземпляр передается из одной лаборатории в другую (в том числе по международному обмену) для тщательно­го и всестороннего изучения его свойств. Именно так изучались свойства лунного грунта, доставленного на Землю советскими ав­томатическими станциями и американскими астронавтами. Так же в течение уже более 200 лет в разное время и разными средст­вами изучалось состояние выдающегося скульптурного памятника Петру Первому в Ленинграде (названного А. С. Пушкиным «Мед­ный всадник») при каждой очередной его реставрации.

4. Многократное измерение одного и того же интервала или размера у разных экземпляров объема исследовали и одним и тем же Средством измерений широко применяется при контроле (вы­борочном и сплошном). Например, при контроле размеров шариков для шарикоподшипников. Иногда эту же задачу решают пу­тем однократного измерения суммарного эффекта от большого числа экземпляров объекта исследований с последующим вычис­лением индивидуальной характеристики отдельного экземпляра. Так, охотничья дробь продается на вес, а масса отдельной дро­бинки может быть вычислена путем деления массы дробинок на их число.

5. Од повременное измерение одного итого же интервала или размера у разных экземп­ляров объекта исследовании разными средствами измерений применяется при ревизии (контроле) ка­чества определенных видов продукции (например, скоропортящей­ся) на текущий момент времени.

6. Многократное измерение одного и того же интервала или размера у разных экземпляров объекта исследовании разными средствами измерений в разное время применяется при массовых измерениях, связанных с изучением покупательского Спроса, об­щественного мнения и др.

Обработка экспериментальных данных (результатов однократ­ных измерений) заключается в использовании их для получения результата многократного измерения. Качество результата многократного измерения зависит от объема экспериментальных дан­ных (количества измерительных Экспериментов).

Пусть, например, после разового измерительного эксперимента на шкале порядка получен следующий результат однократного измерения:

Qi> Qj

Что можно сказать об этом решении? Только то, что, согласно основному постулату метрологии, оно является случайным. Какова гарантия того, что это решение правильное? Никакой. В какой мере можно считать такой результат измерения достоверным? Не­известно. Таким образом, ценность подобного результата измере­ния невелика.

Предположим теперь, что измерительный эксперимент, матема­тической моделью которого является выражение (2.1), выполнен 100 раз и независимые показания на выходе устройства сравнения (см. рис. 2,2) распределились следующим образом:

показание Qi + M > Qj повторилось 90 раз;

показание Qi + M = Qj повторилось семь раз;

показание Qi + M < Qj повторилось три раза.

чем больше количество измерительных экспериментов, тем точнее частности показаний соответствуют их вероятностям. При ус­ловии их тождественности результат многократного измерения

можно записать так:

Qi < Qj с вероятностью 0,9;

Qi = Qj с вероятностью 0,07;

Qi > Qj с вероятностью 0,03.

Это качественно совершенно иной результат. С высокой сте­пенью достоверности (с вероятностью 0,9) можно утверждать, что Qi > Qj. Ценность подобного результата измерения гораздо выше.

Если до измерения о соотношении между Qi и Qj нет никакого представления и все три варианта являются равновероятными, то априорная энтропия

После однократного измерения апостериорная энтропия равна нулю, а после многократного

H=-0,9*log20,9-0,07*log20,07-0,03*log20,03=0,568

Таким образом, однократное измерение дает 1,58 бит измери­тельной информации, а многократное—только 1,01 бит, но каче­ство информации совершенно разное. В первом случае достовер­ность ее неизвестна, а во втором вполне определенная. Ценность такой измерительной информации выше.

Пример 2.15. При выборочном контроле изделий массового производства с помощью проходного и непроходного калибров измерение контролируемого раз­мера  по шкале порядка показало, что

 <min у 54 проверенных изделий;

 min  max у 870 проверенных изделий;

 > mах у 76 проверенных изделий.

На основании результата многократного измерения

min  max с вероятностью 0,87

вся партия изделий забракована, ибо вероятность того, что взятое наугад из­делие окажется дефектным, превышает установленный норматив 0,1 (0,13>0,1).

В рассмотренном примере не использована априорная инфор­мация. Она заключается в том, что изделия первой группы отно­сятся к неисправимому браку, а изделия третьей группы—к ис­правимому. Поэтому, если сравнивать качество изделий по контро­лируемому размеру, ранжированный ряд будет иметь вид:

QI<QIII<QII

Ценность изделий, входящих в каждую группу, можно охарактеризовать с помощью коэффициентов . Примем для годных изде­лий второй группы весовой коэффициент, равный 1. Если устране­ние брака (доводка) изделий третьей группы представляет собой несложную процедуру, то весовой коэффициент для изделий этой группы Можно принять равным 0,9. Ценность изделий первой группы равна 0. После нормирования (деления на их сумму) весовые коэффициенты будут иметь следующий вид:

gI = 0; gII = 0,53; gIII = 0,47,

где

0 gi

С учетом дополнительной информации, представленной значе­ниями весовых коэффициентов, ранжированный ряд можно уточ­нить:

QI<QIII QII

так как gIIIgII0,5 Это означает, что при незначительном ос­лаблении требований к качеству изделий вся партия может быть принята.

Уточнение силы неравенств, составляющих ранжированный ряд, за счет привлечения дополнительной информации, содержащейся в значениях весовых коэффициентов, является эффективным спо­собом повышения качества результата измерения по шкале порядка. Это относится как к многократному, так и к однократному измерению.

Качество результата многократного измерения зависит не только от объема экспериментальных данных— количества результатов однократных измерений, — но и от качества последних. Показате­лями качества результатов измерений (2.11) и (2.21) служат правильность и точность. Правильность обеспечивается внесением в показание средства измерения Х поправки Q, а точность зависит от степени рассеяния случайного результата измерения около сво­его среднего значения. Так как поправка  не является случайной, то рассеяние результата измерения обусловлено рассеянием показания. Следовательно, точность результата однократного измере­ния определяется точностью показания средства измерений. По­следняя, в свою очередь, характеризуется дисперсией

(2.22)

или средним квадратическим отклонением

(2.23)

показания при накоплении экспериментальных данных первым способом. К сожалению, ни тот, ни другой показатели качества, не поддаются экспериментальному определению из-за невозможности интегрирования в бесконечных пределах в выражении (2.22) и при определении среднего значения показания

(2.24)

где р{Х] —плотность распределения вероятности X. Поэтому вместо дисперсии и среднего квадратичеокого отклонения показа­ния используют их оценки. Чаще всего это бывает оценка дисперсии

(2.25)

и стандартное отклонение

(2.26)

где

(2.27)

— среднееарифметическое значение показания при n независимых измерительных экспериментах¹.

При получении результата многократного измерения по фор­муле среднего взвешенного

Q = g1Q1 + g2Q2 + … +giQi + … + gnQn (2.28)

результаты однократных измерений Qi суммируются с весами gi, соответствующими их значимости (ценности). При этом исходят из того, что более точные результаты Q; являются и более весо­мыми. Поэтому вес каждого результата однократного измерения Qi выбирают прямо пропорциональным

где оценка дисперсии результата однократного измерения S равна оценке дисперсии показания средства измерения S²Xi, вы­числяемой по формуле (2.25). Кроме того, все веса нормируют с тем, чтобы их числовые значения

находились в пределах от 0 до 1. По условию нормировки

С учетом вышесказанного результат многократного измере­ния¹ записывается в виде

(2.29)

(2.30)

При нормальном законе распределения вероятности измери­тельная информация изображается на шкале отношений интерва­лом

(2.31)

где коэффициент t зависит от выбора доверительной вероятности.

Интервал этот уже интервала, соответствующего однократному измерению. Точность измерительной информации, следовательно, выше.

Независимо от способа накопления экспериментальных данных всякое многократное измерение предполагает выполнение несколь­ких измерительных экспериментов, т. е. получение нескольких случайных значений отсчета. Если эти значения получаются раз­ными средствами измерений, то каждое из них может иметь свою дисперсию, т. е. свою точность. В таком случае говорят о много­кратном измерении с неравноточными значениями отсчета. Так как показание подчиняется тому же закону распределения веро­ятности, что и отсчет, можно было бы говорить о многократном измерении с неравноточным и значениями показания в результа­тах однократных измерений (2.17—2.21) или о многократном из­мерении с неравноточными результатами однократных измерений. Именно эта неравноточность и учитывается весовыми коэффици­ентами gi в формуле (2.28). Таким образом, выражение (2.29) представляет собой результат многократного измерения с нерав­ноточными значениями отсчета, а показатель качества (2.30) ха­рактеризует точность этого результата.

Пример 2.16. В примере 2.13 ширина комнаты измерена повторно менее точ­ной рулеткой, стандартное отклонение показания которой Sx=0,5 см. Какова точность двухкратного измерения?

Решение. По формуле (2.30)

Следовательно, при комплексировании значений показателей качества, полученных с разной точностью, точность комплексного показателя выше, чем у наиболее Точного единичного показателя.

Если значения отсчета при накоплении экспериментальных дан­ных получаются одним и тем же средством измерений, то все они подчиняются одному и тому же закону распределения вероятности и имеют одинаковую точность, соответствующую точности сред­ства измерений. В таком случае говорят о многократном измере­нии с равноточными значениями отсчета (а следовательно, и пока­зания, и результатов однократных измерений в выражениях (2.28), (2.29).

При

Формулы (2.29), (2.З0) и (2.31) приобретают вид:

(2.32, 2.33, 2.34)

где — среднее арифметическое результатов однократных изме­рений; S —стандартное отклонение среднего арифметического, вычисляемое по формулам (2.26) и (2.33). Следовательно, точ­ность результата многократного измерения с равноточными зна­чениями отсчета вn раз выше точности результата однократного измерения. Интервал (2.34) в n раз уже интервала, пред­ставляющего на шкале отношений измерительную информацию при однократном измерении.

Пример 2.17. В примере 2.13 было рассмотрено однократное измерение ши­рины комнаты при известном значении среднего квадратического отклонения х = 0,25 см. Выполняется многократное (n = 9) измерение этого же единичного показателя качества помещения (ширины комнаты) тем же средством измере­ний. Оценка среднего значения результата измерения Q вычисляется по форму­ле среднего арифметического (2.32).

Вычислить стандартное отклонение S — результата многократного измерения .

Решение. Значение стандартного отклонения S определяется по формуле(2.32)

Следовательно, точность девятикратного измерения в три раза выше.

Формула (2.33) позволяет определить, сколько раз нужно по­вторить измерение, чтобы повысить точность его результата в не­сколько раз. Для этого удобно пользоваться графиком, приведен­ным на рис. 2.12. Так, чтобы повысить точность однократного из­мерения в два раза, нужно повторить его четыре раза; для того, чтобы повысить точность в пять раз, нужно повторить измерение 25 раз; для повышения точности в десять раз измерение нужно повторить 100 раз и т.д. Все повторные измерения должны быть независимыми.

Пример 2.18. Среднее квадратическое отклонение однократного измерения показателя качества помещения (например, длины комнаты) x=1 см,

Какое число измерений n надо выполнить, чтобы повысить точность измере­ния в четыре раза?

Решение. При многократном измерении с равноточными значениями отсчета среднее квадратическое отклонение о результата измерения Q определяют по формуле (2.313) или по графику на рис. 2.1'2, из которого следует, что при заданном = 0,25 необходимое число измерений n = 16.

^

Рис. 2.12. График для определения необходимого числа измерений с целью повышения точности в несколько раз.

Из рассмотренных примеров 2.16—2.18 можно сделать вывод, что повышение точности измерения (одного из показателей каче­ства измерений) требует дополнительных затрат. Всякое дальней­шее повышение точности дается все большей и большей ценой.

Формулы (2.22—2.34) используются при обработке экспери­ментальных данных, полученных как по шкале отношений, так и по шкале интервалов. В последнем случае это не должно вызы­вать недоумения/так как с интервалами можно производить все математические операции, включая умножение и деление.