Задача №3 Квантова частинка в полі -подібної потенціальної ями

Розглянемо наступну модельну задачу: маємо одновимірну прямокутну потенціальну яму з одним єдиним енергетичним рівнем (див. рис. 3.3). Необхідно визначити умову прямування ширини цієї ями до нуля, а глибини – до нескінченості, при якій енергія рівня залишається незмінною.

Рис. 3.3. Одновимірна прямокутна потенціальна яма з одним рівнем

Із результатів задачі №2 випливає, що хвильова функція частинки, яка знаходиться на єдиному енергетичному рівні, що існує у ямі, як і хвильова функція будь-якого основного стану, не може мати вузлів, тобто має бути парною (відносно середини ями). Використовуючи формули (13) задачі №2, для хвильової функції частинки всередині ями маємо:

, (1)

де

,

а зовні ями справа :

, (2)

де

.

Прирівнюючи логарифмічні похідні функцій (1) і (2) на правій границі ями (при ), одержимо:

. (3)

Спрямуємо тепер, як вимагається в умові задачі, до нескінченності і - до нуля. При цьому буде прямувати до . Але за умовою задачі має залишатися сталим, тому, як випливає з (3), має прямувати до нуля. Це дозволяє нам замінити значення тангенса значенням його аргументу, тобто

. У результаті із (3) знайдемо:

, (4)

або

. (5)

Таким чином, при прямуванні до нуля, а - до нескінченності їх добуток залишається сталим:

. (6)

Якщо переписати вираз (6) у вигляді

, (7)

то відповідь на поставлене в умові задачі питання можна сформулювати так: для того, щоб енергія рівня залишається незмінною, необхідно прямувати ширину ями до нуля, а глибину – до нескінченості так, щоб “площа перерізу” ями залишалася сталою.

Знайдемо граничні умови для функцій за межами ями. Позначимо розв’язок зліва від ями , а справа - (зазначимо, що поза ямою може існувати довільний додатковий потенціал). Розв’язок всередині ями рівний

. (8)

Гранична умова зліва від ями ( ) має вигляд:

(9)

Розв’язавши систему рівнянь (9) відносно і , одержимо:

(10)

Гранична умова справа від ями ( ) має вигляд:

(11)

Підставляючи в (11) знайдені раніше значення і (10), виразимо і через і :

(12)

Перейдемо тепер до границі

,

одержимо:

,

або, замінюючи згідно (4) на :

(13)

де - єдина стала, яка характеризує яму і безпосередньо зв’язана з величиною енергії рівня у ній:

.

Умову (13) можна сформулювати у вигляді потенціалу, що має вид -функції

.

Дійсно, інтегруючи рівняння Шредінґера

( - довільний, але гладкий додатковий потенціал) по малому інтервалу в околі , одержимо:

,

або

,

що співпадає з умовою (13).

Зазначимо, що потенціал, який зображає прямокутну яму, при прямуванні із забезпеченням при цьому умови (7) (рівність “площі перерізу” ями)

,

прямує до -функції з коефіцієнтом , що рівний за модулем площі прямокутника на рис. 3.3.

3.2. Проходження через потенціальні бар’єри

Задача №4

Квантова частинка в полі одновимірного прямокутного

потенціального бар’єру. Тунельний ефект та надбар’єрне відбивання

Розглянемо рух частинки в полі, де її потенціальна енергія має форму прямокутного бар’єра (рис. 3.4):

(1)

Потрібно визначити коефіцієнти відбивання і прозорості вказаного бар’єра.

Власні функції оператора Гамільтона

, (2)

тобто розв’язки стаціонарного рівняння Шредінґера

(3)

розіб’ємо на три гілки:

(4)

Стаціонарні рівняння Шредінґера для мають вигляд:

(5)

де .

Загальні розв’язки рівняння (5) визначаються виразами

(6)

Сформулюємо тепер постановку задачі про відбивання та проходження частинки через потенціальний бар’єр, у випадку, коли до взаємодії з бар’єром вона рухається у додатному напрямку осі . У цьому випадку вираз описує падаючі частинки, а вираз - відбиті. Отже, ; ; . У третій області не може бути частинок, які б рухалися у зворотному напрямку, тому слід покласти . Вираз описує частинки, що пройшли потенціальний бар’єр, тобто .

Рис. 3.4. Прямокутний потенціальний бар’єр

Введемо тепер експериментально вимірювані технічні коефіцієнти – відбивання:

(7)

і прозорості бар’єра:

, (8)

де - величини густин потоків відповідно падаючих частинок, відбитих частинок і частинок, що пройшли бар’єр. Використовуючи формулу, що виражає густину потоку через хвильову функцію

, (9)

одержимо

. (10)

Підставивши (10) у (7) і (8), одержимо:

(11)

Використаємо тепер умови неперервності хвильової функції та її похідної в точках і :

(12)

Система (12) – це система 4-х лінійних рівнянь для 5-и невідомих Але, оскільки для визначення коефіцієнтів відбивання і прозорості нам потрібно знати лише відношення і , то поділивши рівняння системи (12) на , одержимо 4-и рівняння для 4-х невідомих

:

(13)

Виразимо і через з перших двох рівнянь системи (13):

. (14)

Підставивши (14) в останні два рівняння в (13), одержимо рівняння для визначення :

(15)

Із (15) маємо:

. (16)

Тепер знаходимо :

. (17)

Щоб обчислити квадрати модулів цих виразів, зручно перш за все розглянути випадок, коли , і, отже, величина є дійсною. Тоді

, (18)

, (19)

Легко бачити, що , що випливає із збереження числа частинок: .

Оскільки

, (20)

а , то замість (18) і (19) одержимо остаточні вирази для і при :

, (21)

. (22)

Відмітимо, що у випадку класичної частинки при має бути (а, отже, ) – тобто всі частинки “пролітають” над бар’єром. Для квантової частинки, якщо , коефіцієнт відбивання . Це явище має назву надбар’єрного відбивання. Лише при реалізуються значення (своєрідна “резонансна прозорість” бар’єру, див. рис. 3.5).

Рис. 3.5. Залежність коефіцієнта прозорості D від енергії Е

для прямокутного бар’єра висотою U і шириною a

Перейдемо тепер до більш цікавого випадку . У цьому випадку

, (23)

де - дійсна величина.

Тоді і, отже, аналітичне продовження виразів (21) і (22) під бар’єр приводить до виразів

, (24)

. (25)

Для класичної частинки при коефіцієнт прозорості (а, відповідно, ), оскільки кінетична енергія не може бути від’ємною. Отже, для квантової частинки при коефіцієнт прозорості , що принципово відрізняється від класичного випадку – це специфічно квантовий ефект, що отримав назву “тунельного ефекту”.

Розглянемо граничні випадки, що випливають із виразів (24) і (25):

а) при маємо:

б) при , розкривши невизначенність типу , одержимо

в) при маємо:

На рисунку 3.5 зображено графік залежності коефіцієнта прозорості від енергії . Зазначимо, що спектр резонансних значень енергії (при ), коли бар’єр стає повністю прозорим, має таку ж структуру (лише зсунуті на величину ), як і для енергій стаціонарних станів частинки у безмежно глибокій потенціальній ямі (див. задачу 2):

.

У цьому випадку на ширині бар’єру відкладається ціле число півхвиль де Бройля: . У випадку бар’єра значної ширини і висоти, коли , і тому вираз для можна представити у вигляді:

. (26)

Вираз (26) може бути узагальнений і на випадок бар’єра довільної форми (див. рис. 3.6); результат має вигляд:

, (27)

де точки повороту та знаходяться із умови і .

Рис. 3.6. Потенціальний бар’єр