Задача №7 Сферично симетрична прямокутна потенціальна яма
Розглянемо
взаємодію між частинками, яка описується
потенціалом, абсолютна величина якого
достатньо швидко (швидше, ніж
)
спадає при
.
У багатьох випадках можна вважати, що
на деякій відстані
взаємодією можна взагалі знехтувати,
поклавши
при
.
Такі потенціали називають короткодіючими,
а параметр
- радіусом їх дії.
Прикладом швидко затухаючого потенціалу притягання є потенціал Вудса-Саксона
,
(1)
де
,
і
- деякі додатні параметри (рис.3.11). Такий
потенціал широко використовується у
ядерній фізиці для описання взаємодії
нейтронів з атомними ядрами. Параметр
визначає розміри області локалізації
взаємодії, а параметр
- розміри тої області, де відбувається
найбільш швидка зміна потенціалу. При
потенціал (1) переходить у потенціал
сферично симетричної прямокутної
потенціальної ями радіуса
(див. рис.3.11).
Знайдемо енергії і хвильові функції стаціонарних станів для руху частинки у полі сферично симетричної прямокутної потенціальної ями з потенціальною енергією:
(2)
Нехай
орбітальний момент частинки
.
Оскільки потенціал (2) сферично симетричний,
хвильову функцію
можна представити у вигляді
,
(3)
де
“радіальна” функція
задовольняє рівняння Шредінґера
.
(4)
Рис.
3.11. Потенціали Вудса-Саксона
та сферично симетричної
прямокутної
потенціальної ями
Розв’язки рівняння (4) повинні задовольняти початковій умові
.
(5)
Шукаємо
енергію в інтервалі
.
У просторовій області (І) маємо
,
(6)
де
.
Розв’язок рівняння (6) має вигляд
.
Із
граничної умови (5) одержимо
,
тому
.
(7)
У просторовій області (ІІ) маємо
,
(8)
де
.
Розв’язок рівняння (8) має вигляд
.
Із
умови квадратичної інтегрованості
функції
одержимо
,
тому
.
(9)
Використаємо
тепер умови неперервності функції
та її похідної
в точці
:
звідки одержимо трансцендентне рівняння
.
(10)
Рівнянню (10) відповідає графік на рис. 3.12.
Рис. 3.12
3.4. Наближені методи розв’язання квантово-механічних задач Задача №8 Ангармонічний осцилятор
Застосовуючи стаціонарну теорію збурень, знайти у першому та другому наближеннях рівні енергії та хвильові функції частинки в полі
,
(1)
(ангармонічний осцилятор).
Відомо
(див., наприклад, []), що розв’язання
незбуреної задачі при
(гармонічний осцилятор) дає невироджені
власні значення оператора
,
які дорівнюють:
.
(2)
Тому
для знаходження власних значень і
власних функцій оператора
застосуємо теорію збурень при відсутності
виродження. У другому порядку теорії
збурень маємо:
(3)
і
,
(4)
де
,
- поліном Ерміта,
,
.
Задача зводиться до обчислення матричних елементів
,
де
і
.
Використовуючи властивості ортогональності
поліномів Ерміта, можна обчислити
наступні матричні елементи координати
:
,
,
(5)
Результати (5) можна переписати у компактнішому вигляді:
.
(6)
Обчислимо
матричні елементи
,
використовуючи (6) та правило множення
матриць:
.
У свою чергу
.
Очевидно,
що у добутках виду
можна
замінити на
і
на
.
В силу цього
і, наприклад, перший доданок буде рівний
;
позаяк
є одиничною матрицею, то
.
Виконавши подібну операцію з усіма членами, одержимо:
.
(7)
Підставивши
цей вираз у
і виконавши аналогічні обчислення,
можемо написати
.
Таким
чином,
і
для заданого
відмінний від нуля лише у чотирьох
випадках: при
і
.
Значить, цей член дає поправку у формулі
(3) лише у другому порядку, а у формулі
(4) – у першому, і ми можемо обмежитися
лише ними. Враховуючи, що знаменники
формул (3) і (4) при
дорівнюють
,
а при
-
,
можна записати
(8)
.
При
обчисленні енергії необхідно врахувати
поряд із поправкою другого порядку від
також і поправку першого порядку від
,
тобто обчислити
.
Аналогічно одержимо
(9)
.
Зазначимо,
що відмінні від нуля результати одержимо
лише при множенні
і
.
Інші члени дорівнюють нулю, наприклад,
.
В результаті маємо
і після підстановки обчислених матричних елементів одержимо остаточний результат:
.
(10)
Задача №9
Ефект Штарка
Задача №10
Рух у періодичному потенціалі
1 Застосування одновимірної формули тунелювання для фактично тривимірної задачі можливо, якщо вважати орбітальний момент -частинки рівний нулю, що дозволяє розглядати лише радіальний рух.