Задача №5 Холодна емісія електронів з металу

(інші назви: автоелектронна емісія; тунельна емісія)

Застосуємо формулу (27) задачі №4 для коефіцієнта прозорості потенціального бар’єру до розрахунку густини струму електронів, що вилітають з металу під дією зовнішнього електричного поля.

Електрони зони провідності при низьких температурах знаходяться в станах, енергії яких лежать в інтервалі , де - енергія Фермі. Мінімальна енергія, необхідна для виривання з металу електронів, які мають енергію , називається роботою виходу . Таким чином, для електронів з найменшою енергією потенціальний бар’єр має висоту і нескінченну ширину, тобто є непрозорим. Але при включенні електричного поля напруженості потенціальна енергія електронів в цьому полі лінійно зменшується: . Отже, сумарна потенціальна енергія (див. рис. 3.7)

(1)

Рис. 3.7.

Використовуючи (27) (задача №4), для коефіцієнта прозорості у нашому випадку матимемо:

, (2)

де точки повороту:

. (3)

Враховуємо, що переважна кількість електронів знаходиться на рівні . Тоді . Оскільки густина струму пропорціональна коефіцієнту прозорості , то залежність від величин і визначається формулою:

. (4)

Інтеграл в (4) легко обчислити; результат має вигляд:

. (5)

Позначивши

(6)

і використовуючи (7), замість (4) одержимо:

. (7)

Як видно з рисунка 3.8, величина має зміст струму насичення (при ), а - характерна величина напруженості електричного поля, при якій струм холодної емісії стає помітним. Те, що характерне значення пропорціональне , одержало в фізиці металів назву “закон 3/2”.

Таблиця 3.1

	Cs	Ag
A (еВ)	1,8	4,3
Е0 (В/м)	16,4.109	60,6.109

Рис. 3.8.

Таким чином, холодна емісія, на відміну від термоелектричної емісії, є суто квантовим явищем (тунелюванням). Відмітимо, що для одержання помітних значень густини струму потрібні досить великі значення напруженості .

Задача №6 - розпад важких ядер

Стала розпаду визначає відносну кількість ядер, що розпалися за одиницю часу:

. (1)

Тому ця величина пропорціональна коефіцієнту прозорості : , що дає можливість застосувати формулу (27) задачі №4 і одержати наступне співвідношення:

, (2)

де - деяка стала, що має розмірність таку ж, як і , тобто ; - маса -частинки.

Ще в 1911 році Г. Гайтлер і Дж. Нетол встановили таку емпіричну залежність (див. (1))

(3)

де і - константи, що залежать від характеристик ядра, а - швидкість -частинки. Як видно з рис. 3.9, із приведеного графіка легко визначити параметри і .

Рис. 3.9.

Завдання. Одержати формулу (3), розглядаючи -розпад, як тунелювання -частинок через бар’єр, утворений ядерним та кулонівським потенціалами; визначити залежність параметрів і від характеристик ядра.

Потенціальну енергію -частинок представимо як суму двох потенціалів – ядерного та кулонівського :

,

де

, (4)

(5)

Оскільки вид потенціальної енергії -частинки всередині ядра, тобто при ( - “радіус” ядра), є несуттєвим, то для обчислень можемо використати такий спрощений вид потенціалу (рис.3.10):

(6)

Рис. 3.10.

Використовуючи (6), із (2) одержимо¹:

, (7)

де точка повороту визначається умовою:

. (8)

Для обчислення інтегралу в (7) перейдемо до нової змінної:

. (9)

Підставивши (9) у (7), з урахуванням (8) одержимо:

. (10)

Використовуючи вираз для первісної

, (11)

і підставляючи (11) у вираз (10), одержимо:

. (12)

Природно припустити, що ; зберігаючи при цьому у степеневому розкладі лише члени першого порядку за , матимемо

. (13)

Оскільки поза ядром для нерелятивістської -частинки , то одержимо таку кінцеву формулу

. (14)

Порівнявши (14) з (3), визначимо параметри і :

. (15)