2.2.2. Метод аналитических группировок

Задание выполняем на основе данных таблицы 2.1 , а также дополнительных вспомогательных таблиц.

Чтобы выявить зависимость между исследуемыми показателями с помощью метода аналитических группировок, необходимо провести группировку единиц совокупности по факторному признаку x (количество перевезенного груза) и для каждой группы найти среднюю величину результативного признака y (прибыль от перевозок). Для формирования аналитических групп необходимо определить величину интервала значений факторного признака для каждой группы. Находим эту величину по следующей формуле:

(2.13)

где - максимальное значение ;

- минимальное значение ;

– число аналитических групп.

Находим величину интервала для четырех групп:

.

Полученные группы представлены в таблице 2.5

Таблица 2.4

Вспомогательная таблица

№	Интервалы по факторному признаку	Группы по Факторному признаку	Середины интервалов	Группы по результативн. признаку	Объем группы	Среднее значение результативн. признака,
					m
	0,43-0,5675	0,43 0,43 0,466 0,468 0,496 0,526	0,469	0,651 0,892 1,362 0,606 0,337 0,74	6	0,765
2	0,56375-0,6975	0,638 0,671	0,6306	0,933 0,726	2	0,829
3	0,6975-0,83125	0,78	0,7643	1,154	1	1,154
4	0,83125-0,965	0,867 0,876 0,88 0,933 0,954 0,965	0,8981	1,059 0,532 1,02 0,871 1,111 1,388	6	0,9186
Итого			2,762	13,382	15	3,6666

Также в таблице 2.4 рассчитано среднее значение результативного признака, которое вычисляется по формуле:

(2.14)

где - число уровней ряда.

Эмпирический коэффициент детерминации определяется по формуле:

, (2.15)

где - межгрупповая дисперсия;

- общая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

(2.16),

где - число единиц в -й группе,

- среднее значение признака в j-ой группе.

Средние значения результативного признака по каждой группе были рассчитаны ранее и сведены в таблицу 5.4.

Таким образом рассчитаем межгрупповую дисперсию.

Теперь рассчитаем общую дисперсию по формуле:

С помощью формулы (2.6) и полученных данных определяем эмпирический коэффициент детерминации. В результате получаем:

.

Теперь мы можем определить коэффициент корреляционного отношения, который равен:

(2.17)

Связь между прибылью от перевозок и количеством перевезенного груза прямая и сильная.

Так как , то на 76% вариации прибыли от перевозок объясняется вариацией количества перевезенного груза, а на 24% - другими факторами.

2.2.3. Метод корреляционно-регрессионного анализа

Построим 2 уравнения (линейное и нелинейное) парной корреляции.

Линейное уравнение парной корреляции (уравнение прямой) имеет следующий вид:

.

Для нахождения параметров и составим следующую систему нормальных уравнений:

Как видно из системы для ее решения не хватает и . Поэтому составляем вспомогательную таблицу 2.5.

Таблица 2.5

Вспомогательная таблица

№		х		У		х2	х*у
1		2		3		4	5
1		0,43		0,651		0,27993	0,27993
2		0,43		0,892		0,38356	0,38356
3		0,466		1,362		0,63469	0,63469
4		0,468		0,606		0,28361	0,28361
5		0,496		0,337		0,16715	0,16715
6		0,526		0,74		0,38924	0,38924
7		0,638		0,933		0,59525	0,59525
8		0,671		0,726		0,48715	0,48715
9		0,78		1,154		0,90012	0,90012
10		0,867		1,059		0,91815	0,91815
11		0,876		0,532		0,46603	0,46603
12	0,88		1,02		0,8976		0,8976
13	0,933		0,871		0,81264		0,81264
14	0,954		1,111		1,05989		1,05989
15	0,965		1,388		1,33942		1,33942
Итого	12,38		16,382		13,644		14,614

По полученным данным из таблицы получаем систему нормальных уравнений:

Решая систему уравнений, получаем следующие значения параметров:

Подставляя полученные значения параметров, получаем уравнение прямой:

.

Подставляя значения в уравнение прямой, получаем следующие значения в таблице 5.6

Таблица 2.6

Расчетные значения результативного признака

№	Х	y
1	0,43	1,2283
2	0,43	1,2283
3	0,466	1,23946
4	0,468	1,24008
5	0,496	1,24876
6	0,526	1,25806
7	0,638	1,29278
8	0,671	1,30301
9	0,78	1,3368
10	0,867	1,36377
11	0,876	1,36656
12	0,88	1,3678
13	0,933	1,38423
14	0,954	1,39074
15	0,965	1,39415
Итого	10,38	19,6428

В качестве нелинейного уравнения регрессии возьмем квадратичное (уравнение параболы), которое имеет следующий вид:

.

Для нахождения параметров _{, и} составим следующую систему нормальных уравнений:

.

Как видно из системы для ее решения не хватает ^, и . Поэтому составляем вспомогательную таблицу 2.7

Таблица 2.7

№
1	0,43	0,1849	0,03419	0,18223
2	0,43	0,1849	0,03419	0,34214
3	0,466	0,21716	0,04716	0,86445
4	0,468	0,21902	0,04797	0,17187
5	0,496	0,24602	0,06052	0,05633
6	0,526	0,27668	0,07655	0,28804
7	0,638	0,40704	0,16568	0,55537
8	0,671	0,45024	0,20272	0,35367
9	0,78	0,6084	0,37015	1,03874
10	0,867	0,75169	0,56504	0,97232
11	0,876	0,76738	0,58887	0,24793
12	0,88	0,7744	0,5997	0,91555
13	0,933	0,87049	0,75775	0,70781
14	0,954	0,91012	0,82831	1,17754
15	0,965	0,93123	0,86718	1,85911
∑	10,38	7,79965	5,24597	9,73311

По полученным данным из таблицы получаем систему нормальных уравнений:

Решая данную систему уравнений, получаем следующие значения параметров:

Подставляя полученные значения параметров, получаем уравнение прямой:

Подставляя значения в уравнение прямой, получаем следующие значения в таблице 2.8.

Таблица 2.8

Расчетные значения результативного признака

№	Х	У
1	0,43	1,848112
2	0,43	1,930291
3	0,466	2,154984
4	0,468	1,877994
5	0,496	1,805513
6	0,526	2,002917
7	0,638	2,245761
8	0,671	2,183448
9	0,78	2,588283
10	0,867	2,664319
11	0,876	2,312173
12	0,88	2,657245
13	0,933	2,627483
14	0,954	2,838454
15	0,965	3,067924
ИтогоИтого	12,38	34,8049

Для того чтобы сделать вывод о том, какое аналитическое уравнение (прямая или парабола) наилучшим образом отражает зависимость между исследуемыми показателями, определим, для какого уравнение значение наименьшее. Для этого составим вспомогательную таблицу 2.9.

Таблица 2.9

Квадраты отклонений

№	для прямой	для параболы
1	0,33	1,43
2	0,113	1,078
3	0,015	0,629
4	0,402	1,618
5	0,831	2,157
6	0,268	1,595
7	0,129	1,723
8	0,332	2,124
9	0,334	2,057
10	0,093	2,577
11	0,696	3,169
12	0,121	2,68
13	0,263	3,085
14	0,078	2,98
15	3,78	2,822
Итого	3,711	31,73

Так как для уравнения параболы сумма квадратов отклонений эмпирических ( ) значений от теоретических ( ) больше, то уравнение прямой лучше описывает зависимость между исследуемыми показателями по сравнению с уравнением параболы.

По выбранной корреляционной модели оценим силу корреляционной силы с помощью таких показателей как эмпирическое корреляционное отношение, эмпирический коэффициент детерминации.

Эмпирический коэффициент детерминации определяется по формуле:

, (2.18)

где - факторная дисперсия,

- общая дисперсия.

Для выполнения расчетов составим вспомогательную таблицу 5.10.

Таблица 2.10

Вспомогательная таблица

№	У
1	0,651	1,84811	0,00015		1,46229
2	0,892	1,93029	0,00491		0,93751
3	1,362	2,15498	0,08687		0,24825
4	0,606	1,87799	0,00031		1,57314
5	0,337	1,80551	0,003		2,32029
6	0,74	2,00292	0,02035		1,25496
7	0,933	2,24576	0,14862		0,85979
8	0,726	2,18345	0,10446		1,28652
9	1,154	2,58828	0,53003		0,49879
10	1,059	2,66432	0,64653		0,642
11	0,532	2,31217	0,20423		1,76425
12	1,02	2,65724	0,6352		0,70602
13	0,871	2,62748	0,58865		0,97862
14	1,111	2,83845		0,95688		0,56138
15	1,388	3,06792		1,45848		0,22302
∑	16,382	34,8049		5,38866		15,3168

Среднее значение результативного признака рассчитано ранее.

Таким образом, рассчитаем факторную дисперсию.

Теперь рассчитаем общую дисперсию

С помощью формулы (2.6) и полученных данных определяем эмпирический коэффициент детерминации. В результате получаем:

.

Теперь мы можем определить коэффициент корреляционного отношения, который равен:

(2.14)

Так как , то между прибылью от перевозок и количеством перевезенного груза существует сильная связь.

Так как , то 79% вариации прибыли от перевозок объясняется вариацией перевезенного груза, а на 21% - другими факторами.

Проверим существенность (значимость) корреляционного отношения.

Для оценки надежности коэффициента детерминации рассчитаем коэффициент Фехнера

(2.15),

где - коэффициент детерминации;

- объем выборки;

- количество параметров уравнения. В данном случае =3.

Таким образом, .

При уровне значимости равным 0,05 критическое значение критерия Фишера .

Так как , то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что значение корреляционного отношения является существенным, наличие корреляционной связи доказано, корреляционная модель выбрана верно.

Так как выбрана нелинейная модель корреляции, то линейный коэффициент парной корреляции рассчитывать не будем.

Коэффициент регрессии равен 0,7906 (коэффициент при х в корреляционной модели). Это значит что связь между показателями прямая.