4. Тригонометрические неравенства.

При решении неравенств с тригонометрическими функциями следует использовать периодичность этих функций: следует сначала решить это неравенство на одном периоде, например для где период, а затем получившееся решение периодически продолжить.

Тригонометрические неравенства можно решать, используя графики тригонометрических функций или числовую окружность. Выписываем ответ для одного периода, а затем к обеим частям полученного неравенства прибавляем где период. Решение тригонометрических неравенств сводится к решению простейших неравенств:

Неравенство	Решения

Основным методом решения тригонометрических неравенств является метод интервалов.

Пример 1. Решить неравенство:

Решение. Функция, расположенная в левой части неравенства, имеет наименьший период, равный Найдем, где на отрезке меняют знаки отдельные множители числителя и знаменателя:

Внутри первого промежутка все три функции положительны. Далее расставляем знаки. Затем выписываем ответ для одного периода (включая в него те граничные значения для которых обращается в нуль числитель, но не равен нулю знаменатель). Получаем:

После чего окончательный ответ получаем, прибавляя к граничным значениям.

Ответ.

Иногда при решении тригонометрических неравенств могут возникнуть проблемы, связанные с упорядочением корней тригонометрических функций.

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. Период функции, расположенной в левой части неравенства, равен Корни второго сомножителя легко находятся (для ):

Решим уравнение

Имеем: где . Получаем уравнение откуда

Пусть Легко видеть, что На отрезок попадают два значения и Найдем Поскольку то

Значит,

Поскольку то При левая часть отрицательна, в точке меняют знак оба множителя, в остальных – по одному. Теперь выписываем ответ на периоде, а затем периодически его продолжаем.

Ответ.

Тестовые задания (по 10 баллов)

397. Решите неравенство:

398. Решите неравенство:

399. Найдите область определения функции

400. Построить график неравенства

401. Построить график неравенства

402. Построить график неравенства

403. Построить график неравенства

404. Построить график неравенства

405. Решить неравенство: на

406. Решите совокупность неравенств:

407. Решите совокупность неравенств:

408. Решите совокупность неравенств:

409. Решить неравенство: на

410. Решить неравенство: на

411. Решите неравенство: .

412. Решите неравенство: .

413. Решите неравенство: .

414. Решите неравенство: на

Задачи I уровня (по 20 баллов)

415. Решите неравенство:

416. Решите неравенство:

417. Решите неравенство:

418. Решите неравенство:

419. Решите неравенство:

420. Решите неравенство:

421. Найдите область определения функции

422. Решите неравенство:

423. Решить неравенство: .

424. Решить неравенство:

425. Решить неравенство:

426. Решить неравенство:

427. Решите неравенство:

428. Решить неравенство:

429. Решить неравенство:

430. Решите совокупность неравенств:

431. Решите совокупность неравенств: .

Задачи II уровня (по 30 баллов)

432. Решить неравенство:

433. Решить неравенство:

434. Решить неравенство:

435. Решить неравенство:

436. Решить неравенство:

437. Решите неравенство:

438. Решите неравенство:

439. Решите неравенство:

440. Решите неравенство: на отрезке

441. Изобразить на плоскости множество точек , удовлетворяющих неравенству .

442. Изобразить на плоскости множество точек , удовлетворяющих неравенству .

Задачи III уровня (по 40 баллов)

443. Решите неравенство:

444. Решите неравенство:

445. Решите неравенство:

446. Решите неравенство: .

447. Решить неравенство:

448. Решить неравенство:

449. Решить неравенство:

450. Найдите все решения уравнения удовлетворяющие неравенству

451. Найдите все решения уравнения удовлетворяющие неравенству

452. Найдите все решения уравнения удовлетворяющие неравенству

453. Решите неравенство:

454. Решите неравенство:

455. Решите неравенство:

456. Решите неравенство:

457. Решите неравенство:

458. Решите неравенство: