5. Системы тригонометрических уравнений и неравенств
При решении систем тригонометрических уравнений и неравенств используются те же методы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств. Прежде всего, это исключение неизвестных и замена неизвестных.
Часто бывает удобнее вместо общих
формул, по которым решаются уравнения
вида
записывать
решения этих уравнений в виде совокупности
двух систем.
Замечание. Если система тригонометрических уравнений свелась к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений, то при решении каждого из этих элементарных уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.
Пример 1. Решить систему уравнений:
Решение. Разделив левую и правую
части первого уравнения системы
соответственно на левую и правую части
второго уравнения, получим уравнение
Заменив этим уравнением второе
уравнение системы, получим систему
равносильную данной.
Складывая оба уравнения и вычитая из второго первое, получим равносильную систему
или
Из первого уравнения полученной системы
находим
второе уравнение равносильно
совокупности уравнений
Таким образом, решение свелось к решению совокупности двух систем:
Из первой системы совокупности находим семейство решений:
Из второй системы совокупности находим:
Ответ.
Тестовые задания (по 10 баллов)
Объедините семейства:
и
.Объедините семейства:
и
.Объедините семейства:
и
.Решить систему уравнений:
Решить систему уравнений:
Найдите значение выражения
если известно, что
Решите систему уравнений:
Решить систему уравнений:
Решите систему неравенств:
Решите систему неравенств:
Решите систему неравенств:
Решите систему неравенств:
Решите систему неравенств:
Задачи I уровня (по 20 баллов)
Решить систему уравнений:
Решение. Из первого уравнения находим
а из второго
Получаем систему:
Откуда получаем:
Ответ.
Найдите значение выражения
если известно, что
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений:
Решите систему неравенств:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Задачи II уровня (по 30 баллов)
Решите систему уравнений
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Задачи III уровня (по 40 баллов)
Найдите решения системы уравнений
,
удовлетворяющие условиям:
.Решите систему неравенств
Найдите решения системы
