Принцип кратномасштабного анализа /2/.

Дискретные ортогональные преобразования. Непрерывное вейвлет-преобразование, равно как и его дискретный аналог с произвольным шагом по масштабу и сдвигу, обладает сильной избыточностью. Интуитивно понятно, что если какая-либо информация заключена в N отсчетах сигнала, то при любых преобразованиях сигнала для отображения этой информации без потерь в новом базисном пространстве должно быть необходимо и достаточно то же самое количество отсчетов N. С учетом принципа неопределенности Гейзенберга это означает, что для точного восстановления сигнала достаточно знать его вейвлет-преобразование на некоторой решетке частотно-временной области, густой в области высоких частот сигнала, и редкой в области низких частот. Идея КМА заключается в том, чтобы масштабировать вейвлет в некоторое постоянное число раз (например, 2), и при скольжении по сигналу сдвигать его во времени с шагом, равным интервалу носителя масштабированного вейвлета. Если обозначить количество масштабных строк индексом m, и принять N=2^m, то при N=32 решетка вейвлетного спектра будет иметь всего m=5 масштабных строк с количеством отсчетов в первой строке 16, во второй 8, в третьей 4, в четвертой 2, и в пятой 1, с общим количеством отсчетов 32, как и в исходном сигнале. При этом все сдвиги одного масштаба будут попарно ортогональны (нет перекрытия сдвигов), равно как и вейвлеты разных масштабов в силу их нулевого первого момента.

Рис. 3.1.1.

Вейвлет Хаара. Простейшие методы КМА, без всякой теоретической базы, использовались при обработке числовых данных уже достаточно давно. Рассмотрим один из таких методов на практическом примере анализа гистограмм, который обычно выполняется функцией Хаара (Haar), в дальнейшем получившей название вейвлета Хаара (рис. 3.1.1).

Допустим, что мы анализируем определенную зависимость s(x) на интервале 0 ≤ х ≤ 1, показанную на рис. 3.1.2. Функция нецентрированная, и для использования вейвлет-преобразования с последующим восстановлением исходного сигнала требует применения как вейвлета, так и его скейлинг-функции. На основе базовых функций вейвлета и скайлинг-функции Наара, приведенных на рис. 3.1.1, записываем масштабированные функции:

Рис. 3.1.2.

_m,k(x) = 2^m/2 (2^mx-k), (3.1.1)

_m,k(x) = 2^m/2 (2^mx-k). (3.1.2)

Эти функции образуют нормированные взаимно ортогональные базисы пространства вейвлетных коэффициентов, на которые может быть разложен анализируемый сигнал. Ортогональность базисных функций является обязательным условием КМА, обеспечивающим возможность обратной реконструкции сигнала.

Для коротких и достаточно гладких кривых нет смысла устанавливать много уровней декомпозиции сигнала. Примем максимальное значение m, равным 4, при этом N=1/2^m=16 с интервалом дискретизации данных, соответственно, x=1/N. В принципе, можно применять и задание исходного значения x с последующим определением количества уровней разложения.

При сдвиговой ортогональности прямоугольных базисных функций прямое преобразование (проекции сигнала на базис (3.1.1)) для непрерывных сигналов выполняется по формуле:

С_m,k = s(x)(2^mx-k) dx. (3.1.3)

З начения коэффициентов при m=4:

Восстановление сигнала с четвертого уровня декомпозиции соответственно выполняется по формуле реконструкции:

s_r(m,x) = С_m,k _m,k(x), m=4, N=16. (3.1.4)

В осстановление исходной непрерывной функции сигнала s(x) скейлинг-функцией Хаара невозможно в силу того, что значение скейлинг-функции – константа шириной x, на которую умножается соответствующее значение С_4,k и распространяется на весь интервал kx-(k+1)x (кривая s_r(x) на рис. 3.1.2). Если выполнить перевод сигнала s(t) во временной ряд sd_k, k=0…N-1, с осреднением по интервалам x, или с использованием (в общем случае произвольного вейвлета) его скейлин-функции:

sd_k = 2^m/2 s(x)_m,k (x) dx, (3.1.5)

то нетрудно убедиться, что sd_k = s_r(kx+x/2) (числовые отсчеты sd_k на рис. 3.1.2 отнесены к середине интервалов x).

В принципе, гистограмма sd_k может представлять собой непосредственные исходные дискретные данные (результаты измерений и т.п.). Сравнением выражений (3.1.5) и (3.1.3) нетрудно убедиться, что нулевой уровень разложения (m=m_max) может быть получен непосредственно из дискретных данных:

С_m,k =sd_k/2^m/2 . (3.1.3')

Рис. 3.1.3.

На следующем уровне разложения функции, при m=3, скейлинг-функция (3.1.1) расширяется по x в 2 раза (в нашем примере до 1/8), т.е. производится усреднение отсчетов по двум соседним интервалам исходной гистограммы. Количество коэффициентов соответственно в 2 раза уменьшается. Расчет коэффициентов С_3,k может выполняться непосредственно по (3.1.3), реконструкция s_r3(x)– по (3.1.4), при m=3, N=8. Тем самым аппроксимация исходного сигнала выполняется на более "грубом" уровне декомпозиции, на основании чего скейлинг-функции вейвлетов называют аппроксимирующими или масштабными функциями, а сами коэффициенты, выделенные скейлинг-функциями - аппроксимирующими.

Преобразования Гильберта-Хуанга

Под преобразованием Гильберта-Хуанга (Hilbert-Huang transform – HHT) понимается метод эмпирической модовой декомпозиции (EMD) нелинейных и нестационарных процессов и Гильбертов спектральный анализ (HSA). HHT представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует априорного функционального базиса преобразования. Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты вычисляются от производных фазовых функций Гильбертовым преобразованием функций базиса. Заключительный результат представляется в частотно-временном пространстве /1/.

EMD-HSA был предложен Норденом Хуангом в 1995 в США (NASA) для изучения поверхностных волн тайфунов, с обобщением на анализ произвольных временных рядов коллективом соавторов в 1998 г. /2/. В последующие годы, по мере расширения применения EMD-HSA для других отраслей науки и техники, вместо термина EMD-HSA был принят более короткий термин преобразования HHT.

Определение и формула. Преобразование Гильберта TH[x(t)] действительной функции x(t), -∞ < t < ∞, - есть действительная функция, определенная как

(t) = ТН[x(t)] = x(t) _* (1/t),

(t) = . (24.1.1)

Функция 1/(t-) называется ядром преобразования Гильберта. Преобразование имеет особую точку при t-  0, в которой при вычислении используется главное значение интеграла по Коши. Функции x(t) и (t) обычно называют сопряженными по Гильберту.

Физически, преобразование Гильберта может быть интерпретировано как естественный /2 фазовращатель, который при прохождении через систему сигнала x(t) изменяет фазу всех частотных составляющих сигнала на /2, и тем самым делает сигнал (t) ортогональным сигналу x(t). Это позволяет сформировать из сигналов x(t) и (t) комплексный аналитический сигнал z(t), как

Рис. 24.1.1.

z(t) = x(t) + j (t), (24.1.2)

где z(t) представлен вектором на комплексной плоскости с проекциями на действительной и мнимой оси соответственно x(t) и (t) (рис. 24.1.1). Преимущество этого представления состоит в том, что возникает возможность однозначно определять текущие временные параметры сигнала z(t), а именно – мгновенные значения его амплитуды и фазы.

Допустим, что имеем зарегистрированный радиосигнал x(t) с несущей частотой _o, который содержит определенную информацию, заключенную в огибающей сигнала u(t) и его фазе (t):

x(t) = u(t) cos (_ot+(t)).

В другой форме:

x(t) = a(t)cos(_ot) + b(t)sin(_ot),

a(t) = u(t) cos t, b(t) = u(t) sin t, u(t) = , tg (t) = b(t)/a(t).

Мгновенная амплитуда, фаза и частота сигнала. С использованием преобразования Гильберта из сигнала x(t) сформируем аналитически сопряженный сигнал (t). С учетом сдвига фазы на /2:

(t) = a(t)sin(_оt) – b(t)cos(_ot).

z(t) = x(t) + j (t).

Квадрат модуля сигнала z(t):

|z(t)|²= x²(t)+ ²(t)= a²(t)[cos²(_ot)+sin²(_ot)]+b²(t)[cos²(_ot)+sin²(_ot)]= u²(t).

Отсюда, огибающая u(t) и мгновенная фаза (t) сигнала x(t):

u(t) = . (24.1.3)

t_ot+(t) = arctg[ (t)/x(t)]. (24.1.4)

tt_ot.

Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения мгновенной фазы:

d(t)/dt = [ ’(t)x(t) - x’(t) (t)] / ( ²(t)+x²(t)). (24.1.5)

Определения (24.1.3) и (24.1.5) подразумевают, что в каждый текущий момент времени в сигнале существует единственное значение амплитуды и частоты. Однако физическая интерпретация понятия «мгновенности» неоднозначна и требует определенных ограничений.