24.2. Метод эмпирической модовой декомпозиции сигналов /1,2,3/

EMD (Empirical Mode Decomposition) - метод разложения сигналов на функции, которые получили название внутренних или «эмпирических мод». Метод представляет собой адаптивную итерационную вычислительную процедуру разложения исходных данных (непрерывных или дискретных сигналов) на эмпирические моды или внутренние колебания.

Огибающие сигналов. У каждого сигнала имеются локальные экстремумы: чередующиеся локальные максимумы и локальные минимумы с произвольным расположением по координатам (независимым переменным) сигналов. По этим экстремумам с использованием методов аппроксимации можно построить две огибающие сигналов: нижнюю - построенную по точкам локальных минимумов, и верхнюю - построенную по точкам локальных максимумов, а также функцию «среднего значения огибающих», которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между нижней и верхней огибающими.

Функции внутренних мод сигналов. Модовая декомпозиция сигналов основана на предположении, что любые данные состоят из различных внутренних колебаний (intrinsic mode functions, IMF). В любой момент времени данные могут иметь множество сосуществующих внутренних колебаний - IMFs. Каждое колебание, линейное или нелинейное, представляет собой модовую функцию, которая имеет экстремумы и нулевые пересечения. Кроме того, колебания в определенной степени «симметричны» относительно локального среднего значения. Конечные сложные данные образуются суммой модовых функций, наложенных на региональный тренд сигнала.

Эмпирическая мода - это такая функция, которая обладает следующими свойствами:

1. Количество экстремумов функции (максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.

2. В любой точке функции среднее значение огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, должно быть нулевым.

IMF представляет собой колебательный режим, но вместо постоянной амплитуды и частоты, как в простой гармонике, у IMF могут быть переменная амплитуда и частота, как функции независимой переменной (времени, координаты, и пр.). Первое свойство гарантирует, что локальные максимумы функции всегда положительны, локальные минимумы соответственно отрицательны, а между ними всегда имеют место пересечения нулевой линии. Второе свойство гарантирует, что мгновенные частоты функции не будут иметь нежелательных флуктуаций, являющихся результатом асимметричной формы волны.

Любую функцию и любой произвольный сигнал, изначально содержащие произвольную последовательность локальных экстремумов (минимум 2), можно разделить на семейство функций IMFs и остаточный тренд. Если данные лишены экстремумов, но содержат точки перегиба («скрытые» экстремумы наложения модовых функций и крутых трендов), то для открытия экстремумов может использоваться дифференцирование сигнала.

Допустим, что имеется произвольный сигнал y(t). Сущность метода EMD заключается в последовательном вычислении функций эмпирических мод c_j(t) и остатков r_j(t) = r_j-1(t) - c_j(t), где j = 1, 2, 3, …, n при r₀ = y(t). Результатом разложения будет представление сигнала в виде суммы модовых функций и конечного остатка:

x(t) = c_j(t) + r_n(t),

где n — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда   – это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член ряда   помимо многочленов, факториалов и других подарков непременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так:  . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда   – это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член   которого входят целые положительные степени независимой переменной  . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так:  , где   – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример: 

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.  Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»:   или  , где   – константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда  ,   или   не совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например: 

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда.  Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд  .

Переменная   может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если  , то  Если  , то  Если  , то  Если  , то  И так далее.

Очевидно, что, подставляя в   то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд   будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале  . Иными словами, если мы выбираем  любое значение «икс» из интервала   и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал   и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: 

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда:  , радиус сходимости ряда: 

Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

>

Здесь интервал сходимости ряда:  , радиус сходимости ряда: 

А что будет происходить на концах интервала  ?  В точках  ,   степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:

– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: 

– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал:   или  .

– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок: 

Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.

С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении  . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают:  . Радиус сходимости:  . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид  , то он будет сходиться в единственной точке  . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю:  . Если ряд имеет вид  , то он будет сходиться в единственной точке  , если ряд имеет вид  , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой:  .

Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал   (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

Функциональный ряд

 — n-ная частичная сумма.

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность   его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность   его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности  . Чтобы последовательность функций  , определённых на множестве  , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого   существовал номер  , такой, что при всех   больше либо равных  , одновременно для всех   выполнялось неравенство 

Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если   сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд   сходится, а   расходится, то ряд   называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд   сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд   сходится равномерно.

2. 

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда  . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость

Признак Дирихле

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   монотонна   и 

2. Частичные суммы   равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   равномерно ограничена и монотонна  .

2. Ряд   равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве 

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность 

 функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд 

 функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

 функция   непрерывна на отрезке 

 на 

Тогда 

Теорема о почленном интегрировании.

 функция   непрерывна на отрезке 

 на 

Тогда 

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

 функция   непрерывно дифференцируема на отрезке 

 сходится

 на отрезке 

Тогда   — непрерывно дифференцируема на  ,   на 

Теорема о почленном дифференцировании.

 функция   непрерывно дифференцируема на отрезке 

 сходится

 равномерно сходится на отрезке 

Тогда   — непрерывно дифференцируема на  ,   на 

Идейной основой метода функциональных рядов была работа Фреше – французского математика, опубликованная в 1950 году. В ней был установлен факт существования сходящегося ряда, описывающего непрерывный функционал. На основе этого подхода построена теория нелинейных систем. Эту теорию обычно относят к аналитической теории нелинейных систем. Теория применима для решения широкого круга нелинейных задач и опирается на строгий математический аппарат. Эта теория обобщает основные понятия теории нелинейных систем и распространяет их на класс линейных систем. В теории линейных систем центральными являются понятия импульсной переходной функции и передаточной функции. Пусть есть объект:

Если вход не скачкообразный, то для линейной системы:

В отличие от линейных систем в рассматриваемом подходе используются многомерные импульсные переходные и многомерные передаточные функции.

Рассмотрим простую нелинейную систему, состоящую из линейной части с линейной импульсной функцией   и квадрата (рассматривается разомкнутая система).

Любую непрерывную функцию можно представить в следующем виде:

Подставим (1) в (2):

Рассмотрим общий случай:

Здесь каждая подсистема характеризуется своим ядром .

В (5) представлены подсистемы, которые называются ядрами Вольтерра первого, второго, …, n-ого порядка соответственно. Структурная схема нелинейной системы согласно (5):

Для замкнутых нелинейных систем представим выражение для общего случая:

Решение этого уравнения находят с учётом выражения:

Запишем (6) в виде:

Тогда справедливо нелинейное интегральное уравнение:

Структурная схема:

Метод моделирования для исследования нелинейных систем

Он может быть использован для исследования любых систем управления и решения таких задач, как оптимизация, идентификация, адаптация, робастонизация и интеллектуализация процессов управления и обработки информации.

Линейные импульсные цифровые системы

Системы являются стационарными, когда параметры в ДУ постоянные, т.е. не меняются во времени.

12) Метод пространства состояний. Динамическая идентификация матрицы параметров и наблюдение вектора состояния.

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собойдифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.