Линейные непрерывные системы

Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Для случая линейной системы с   входами,   выходами и   переменными состояния описание имеет вид:

где

;  ;  ;

,  ,  ,  ,  .

 — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

 — вектор выхода,

 — вектор управления,

 — матрица системы,

 — матрица управления,

 — матрица выхода и

 — матрица прямой связи.

Часто матрица   является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

Нелинейные системы

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

или в более компактной форме:

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

13) Метод наименьших квадратов. Фильтр Калмана. Наблюдатель полного порядка (наблюдатель Люенбергера). Цифровые БИХ- и КИХ-фильтры.

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares) — один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Сущность МНК

Пусть задана некоторая (параметрическая) модель вероятностной (регрессионной) зависимости между (объясняемой) переменной y и множеством факторов (объясняющих переменных) x

где   — вектор неизвестных параметров модели

 — случайная ошибка модели.

Пусть также имеются выборочные наблюдения значений указанных переменных. Пусть   — номер наблюдения ( ). Тогда   — значения переменных в  -м наблюдении. Тогда при заданных значениях параметров b можно рассчитать теоретические (модельные) значения объясняемой переменной y:

Тогда можно рассчитать остатки регрессионной модели — разницу между наблюдаемыми значениями объясняемой переменной и теоретическими (модельными, оцененными):

Величина остатков зависит от значений параметров b.

Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры b, при которых сумма квадратов остатков   (англ. Residual Sum of Squares^[1]) будет минимальной:

где:

В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном МНК (NLS или NLLS — англ. Non-Linear Least Squares). Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции  , продифференцировав её по неизвестным параметрам b, приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений:

Если случайные ошибки модели имеют нормальное распределение, имеют одинаковую дисперсию и некоррелированы между собой, МНК-оценки параметров совпадают с оценками метода максимального правдоподобия (ММП).

Фи́льтр Ка́лмана — эффективный рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и зашумленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана.

реализация фильтра Калмана на борту космического аппарата или в навигационной аппаратуре потребителя была затруднительной, так как требовался достаточно мощный процессор и приличный объем памяти, т.е. значительное увеличение габаритов аппаратуры и, соответственно, массы.

Как правило, использовался наиболее простой (и в реализации) метод наименьших квадратов (МНК), алгоритм фильтрации по полной выборке.

По сравнению с фильтром Калмана, МНК не использует априорной информации о движении объекта и оценка состояния выполняется на основе выборки измерений. Т.е. до получения первой качественной оценки состояния объекта помимо времени на получение информации от навигационных спутников (альманахи, эфемериды и т.д.) прибавляется время на накопление измерений. Навигаторы с МНК плохо определяют именно движущиеся объекты, но если, с уже включенным приемником, вы постоите минут 5 на одном месте, тогда навигатор может показать ваше местоположение с точностью до сантиметров.

Фильтр Калмана, в свою очередь, после получения первых измерений, в состоянии достаточно качественно сделать оценку движение объекта. Априорная информация о движении объекта в алгоритме выражается в матрицах наблюдаемости (H) и фундаментальной матрице (Ф).

Итак. Вот, собственно, сам фильтра Калмана (точнее, одно из его представлений):

q^*_i+1 - апостериорный вектор состояния, размерностью 6х1;

 - априорный вектор состояния, размерностью 6х1 ;

K_i+1 - матрица коэффициентов усиления, размерностью 6хn ;

R_и(i+1) - “истинный” вектор измерений, размерностью nx1 ;

R_0(i+1) - навигационный (расчетный) вектор измерений, размерностью nx1 ;

_Kq(i+1) - априорная матрица ковариаций среднеквадратических отклонений, характеризующих точность оценки вектора состояния, размерностью 6х6 ;

H_i+1 - матрица наблюдаемости, размерностью nx6 ;

I  - единичная матрица, размерностью 6х6 ;

W_i+1 - матрица ошибок измерения, размерностью nxn ;

K_q0(i+1) - апостериорная матрица ковариаций среднеквадратических отклонений, характеризующих точность оценки вектора состояния, размерностью 6х6 ;

Ф_i - фундаментальная матрица, размерностью 6х6 ;

V_i- матрица влияния внешних возмущений на вектор состояния. 

n – количество спутников, с которых обрабатываются измерения.

Для простоты рассмотрим фильтр для вектора состояния q из шести элементов(именно поэтому размерности вышеописанных элементов включают в себя цифру «6»): три проекции радиус-вектора (радиус-вектор с началом в центре Земли, направленный в центр масс объекта) и три проекции вектора скорости объекта.

Попробуем объяснить построение этих матриц как можно проще (в пределах разумного).

Матрица наблюдаемости.

Предположим, что мы находимся на борту космического аппарата. Помимо нас на борту есть такие навигационные средства, как ИНС (инерциальная навигационная система, пусть будет платформенная) и спутниковая навигационная система (какой-нибудь GPS/ГЛОНАСС приемник). Предположим, что в каждый момент времени нам с помощью ИНС, известны все параметры нашего движения q={Rx, Ry, Rz, Vx, Vy, Vz,}. И вроде бы всѐ замечательно. Но интуиция, а может эхо давно забытых лекций, подсказывает нам, что эти платформенные ИНС имеют обычай «уходить», т.е. накапливать ошибку. И, значит, со временем станет не очень понятно, как мы вообще движемся. Чтобы скорректировать ИНС к нам на помощь приходит достаточно точный GPS/ГЛОНАСС приемник. (Правда слегка недоделанный: Нам еще самим нужно будет высчитывать псевдодальности и псевдоскорости.) Но и приемник не может выдавать абсолютно точные оценки. А если вспомнить, что наш космический аппарат находится в агрессивной среде, где на него воздействуют нецентральные гравитационные силы Земли, Луны и Солнца.. Может быть там еще есть и верхняя атмосфера Земли. Короче говоря, сплошные ошибки и погрешности. Но чтобы отфильтровать эти ошибки нам как раз пригодится фильтр Калмана. Но вот беда: в алгоритме фильтрации нужно реализовать некую матрицу наблюдаемости (Н), которая связывает измерения GPS/ГЛОНАСС приемника и вектор состояния, получаемый с помощью ИНС. В, общем-то, это некая матрица перехода связывающая наши реальные(по ИНС) местоположение и скорость с измерениями GPS/ГЛОНАСС приемника.

Для тех, кто в танке!

В математике есть такая функция y=A*x, так вот, если сопоставить эту функцию с тем, что написано выше, получится: [вектор состояния(навигационный (по ИНС))] = А* [измерения приемника].

Так вот A – это и есть Н, матрица наблюдаемости.

Размерность этой матрицы nх6. 6 - это число элементов вектора состояния q, n – число измерений в конкретный момент времени. Предположим, что наш GPS/ГЛОНАСС приемник видит в данный момент только 3 навигационных спутника. Тогда от этих спутников мы можем получить максимум 6 измерений единовременно: псевдодальность и псевдоскорость от одного спутника, псевдодальность и псевдоскорость от другого и т.д. Следовательно, размерность матрицы в случае 3-х видимых навигационных спутника -6х6.

Нужно теперь определить эту матрицу. Роясь в карманах, находим маленькую книжечку. Нам еѐ, незаметно, засунули в центре управления полетами. В ней находим главу «Модель измерений». Как правило, такая модель описывается формулой(в данном случае двумя: для псевдодальности и псевдоскорости). Из чего эти формулы состоят, разбирать не будем. Предположим, что эти формулы есть, и все их компоненты нам понятны.

Заполним первую строку матрицы наблюдаемости. Если перевести текст по заполнению матрицы, из умных книг, и адаптировать его для среднего студента получится приблизительно следующее: возьмем формулу модели измерения для псевдодальности и продифференцируем сначала по Rх - таким образом получим первый элемент первой строки матрицы наблюдаемости, потом продифференцируем по Ry – получим второй элемент матрицы наблюдаемости, первой строки и т.д. до Vz.

Вот как дифференцировать – рассказывать не буду.

Для заполнения второй строки необходимо взять уравнение модели измерения для псевдоскорости и проделать с ней такие же операции.

Таким образом, вперемежку, аналитически заполнится вся матрица наблюдаемости. Останется только запрограммировать еѐ.

Правильно ли вы составили матрицу наблюдаемости? Еѐ строки, по сути, будут единичными векторами, направленными на навигационный спутник. Так что, если модуль строки матрицы наблюдаемости равен 1, то скорее всего вы правильно продифференцировали.

Фундаментальная матрица

Эта матрица, описывает динамику состояния объекта. На пальцах еѐ суть можно объяснить следующим образом:

Ваш вестибулярный аппарат задаѐт связанную с вами, систему координат.

Вот вы стоите неподвижно в углу. Угол комнаты задает инерциальную систему координат. В какой-то момент вы решили развернуться на 180 градусов и делаете это(долго разворачиваетесь, секунд 5). Так вот фундаментальная матрица - это некое описание вашего движения, относительно угла комнаты, с момента времени начала вашего поворота до его окончания, т.е. движение связанной системы координат (в проекциях на оси инерциальной) относительно инерциальной в заданном интервале времени. Более менее разобрались, что это за матрица такая. Теперь еѐ нужно заполнить…

Предположим, что в сумке, потрепанной студенческой жизнью и пивом, завалялась дискета, которую вы так и не отдали своему согруппнику. На этой дискете к счастью оказался программно реализованный численный метод интегрирования (пусть будет Рунге-Кутты). Вот мы его как раз и применим для формирования фундаментальной матрицы.

Заполнение фундаментальной матрицы.

1. Берется “истинный” вектор состояния на момент времени начала вашего поворота и численно интегрируется на интервале времени в 5 секунд (интегрируется формула, выражающая модель нашего движения).

Полученный вектор состояния запоминается. Назовем его Х.

2. Берется “истинный” вектор состояния до вашего поворота и к первой компоненте вектора прибавляется некоторое приращение(к примеру, 100 метров). Пример: Rx+100 метров (если Rx в метрах). Остальные компоненты вектора не трогаем.

Полученный вектор состояния интегрируется на 5 секунд. В результате получаем вектор Х*.

3. Покомпонентно из вектора состояния Х вычитаем Х* и делим на приращение(также покомпонентно). В результате получаем 1-й столбец фундаментальной матрицы.

4. Для получения остальных столбцов фундаментальной матрицы выполняются 2,3 пункты. (Номер элемента вектора состояния, к которому осуществляется приращение, соответствует номеру столбца фундаментальной матрицы).

Если модель движения выражается формулой для кругового движения и ваш космический аппарат представлен материальной точкой, тогда очевидно на протяжении всего вашего полета, пересчитывая фундаментальную матрицу еѐ значения будут практически одинаковыми.

Система

Анализ и синтез систем управления во временной области требует знания мате-

матической модели объекта управления, которая может быть представлена в терминах

вход - переменная состояния - выход. Под переменными состояния х(t) обычно пони-

мают совокупность физических переменных, значения которых, наряду с входными u(t)

и выходными y(t) переменными определяют ее будущее состояние.

На практике не все переменные состояния могут быть измерены, так как нет

соответствующих датчиков или их просто нельзя установить на объекте управления

(например, датчик Холла для измерения характеристик магнитного поля электрической

машины). В таких случаях те переменные, которые не могут быть измерены

непосредственно, подлежат оценке на основании измеряемых переменных. Это можно

выполнить с помощью специальных устройств, которые называются наблюдателями

состояния (рис 2).

 (1)

 (2)

является наблюдателем для системы

 (3),

 (4),

если для каждого начального состояния   системы (3)-(4) существует начальное состояние   для системы (1)-(2), такое, что равенство   приводит к   при всех управлениях  .

Здесь   — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность   равна размерности   и выполнение условия   дает   при всех управлениях  , то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы.  -мерный вектор  , называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени  .  -мерный вектор   описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

-мерный вектор   представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно  .   называютнаблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда  ,  ,  , где   является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

 (5).

Матрица   называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

,

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления  , устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы  , называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

 при 

для всех   тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления  , однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной  .

Цифровой фильтр — в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны, соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.