Вариант точного решения задачи

100⁰

Р

Рис.3.20. Вариант точного решения

ассмотрим один частный вариант решения этой задачи (рис.3.20). Предположим, что 0⁰С – это температура внешней среды и первоначальная температура всего стержня. Затем к верхней (3-й) границе подвели нагреватель, который будет поддерживать на ней постоянную температуру, равную 100⁰С. Температура на нижней (1-й) границе все время будет оставаться равной 0⁰С - температуре внешней среды. А что происходит при этом на боковых границах – 2-й и 4-й? Они могут быть, например, теплоизолированными. Это обозначает, что данные границы контактируют с каким-то теплоизоляционным материалом, который препятствует теплообмену через эти границы между стержнем и внешней средой. Начиная с момента включения нагревателя, будет происходить прогревание стержня. По истечении некоторого времени, внутри стержня установится постоянное распределение температуры и далее (если на границах ничего не будет меняться) это распределение будет сохраняться. Требуется получить установившееся распределение температуры внутри стержня в виде функции T(x,y) для 0≤ x ≤a, 0≤ y ≤b.

Уравнение, из решения которого находится функция T(x,y), называется уравнением Лапласа. Мы его здесь приводить не будем, поскольку это дифференциальное уравнение, а в школьном курсе математики такие уравнения не изучаются. Однако решение этого уравнения с описанными граничными условиями является достаточно очевидным. Оно имеет следующий вид:

T(x,y)= 100·y/b (3.37)

Следовательно, функция Т не зависит от х, а зависимость от у имеет линейный характер. Условия на нижней и верхней границах выполняются, поскольку из (3.37) следует:

T(x,0)=0, T(x,b)=100.

Для графического изображения распределения некоторой функции в области решения задачи используются изолинии – линии постоянного значения функции. Изолинии температуры называются изотермами. На рис.3.20 показана картина изотерм внутри стержня, соответствующая распределению температуры по формуле (3.37). Это равноотстоящие прямые линии, параллельные оси Х, которые соответствуют значениям температуры от 0⁰ до 100⁰ с шагом 20⁰. Количество нарисованных изолиний может быть любым, и оно зависит от выбранного шага изменения температуры. Картина изотерм дает наглядное изображение поля температур в расчетной области. Изотермы используются, например, на картах погоды для отображения поля температур в определенном географическом регионе.

Вопросы и задания

1.Сформулируйте постановку задачи теплопроводности

2. Что значит «изотермическая граница», «теплоизолированная граница»?

3. Внесите изменения в формулу (3.37) для точного решения задачи теплопроводности, если температура нижней границы будет равна 10⁰. Все остальные условия остаются неизменными.

4. Запишите точное решение задачи теплопроводности в прямоугольной области (рис.3.19) при следующих граничных условиях: границы I и III теплоизолированы, температура границы II равна 20⁰, температура границы IV равна 80⁰. Нарисуйте изолинии с шагом изменения температуры 10⁰.