Система основных понятий

Задача теплопроводности
Постановка задачи для двумерной области
y	Дано: - замкнутая двумерная теплопроводная область; - заданы тепловые условия на границе. Получить распределение температуры внутри области: T(x,y)
Численный метод решения – метод сеток
i	наложение прямоугольной сетки на область решения; дискретное представление температуры: Ti,j - численная модель на основании закона сохранения энергии (для квадратных ячеек): - метод итерации для решения системы уравнений

Вопросы и задания

1. В каком виде ищется решение задачи теплопроводности при использовании метода сеток?

2. Как идентифицируются ячейки сетки?

3. Какой физический закон используется при построении числовой модели для расчета распределения температуры?

4. Математическая модель, полученная для задачи теплопроводности, представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Какое количество уравнений и неизвестных она содержит?

5. Какой применяется метод для решения полученной системы уравнений?

6. Что такое итерации? Каким можно задать начальное приближение для температуры?

7. Когда следует закончить итерационные вычисления?

8. * Получите численную модель для решения задачи теплопроводности, для случая неквадратной сетки (отношение шагов не равно единице)

§3.3.3. Вычислительные эксперименты на электронной таблице по расчету распределения температуры

Итерации в электронных таблицах. Уже не однажды вы убеждались в том, что электронные таблицы – это мощное вычислительное средство! Сейчас вы откроете для себя еще одну возможность электронных таблиц: возможность их применения для решения задачи теплопроводности методом итераций.

В современных табличных процессорах, таких как MS Excel, заложена возможность автоматической реализации итераций. Суть ее в следующем: имеется две ячейки таблицы, назовем их 1-я и 2-я ячейки. Если в 1-й ячейке записана формула, содержащая ссылку на 2-ю ячейку, а формула во 2-й ячейке содержит ссылку на 1-ю ячейку, то такая ситуация называется циклической ссылкой. Наличие циклической ссылки табличный процессор воспринимает, как указание к выполнению итераций. Значения формул в этих ячейках начинают многократно по очереди пересчитываться. Пересчет продолжается до тех пор, пока в данных ячейках не установятся значения с заданной точностью. Эта точность определяется относительной погрешностью итераций.

Обозначим относительную погрешность итераций символом δ_итер, значение формулы в 1-й ячейке на k-й итерации обозначим во второй ячейке - . Значения формул в тех же ячейках на предыдущем шаге итераций, соответственно: и . Относительные погрешности итераций на k-м шаге в этих ячейках равны:

,

Относительная погрешность итерации оценивает долю, которую составляет разность между значениями F на двух последовательных приближениях в самой величине F. Относительная погрешность выражается как в долях единицы, так и в процентах. Например: δ=0,01=1%. Табличный процессор завершит автоматические итерации при выполнении условий: δ₁<δ_итер, δ₂<δ_итер.

Кроме относительной погрешности итераций есть еще и другой параметр, управляющий итерационными вычислениями. Он называется максимальным числом итераций. Назовем его MAX_итер. Если заданная относительная погрешность еще не достигнута, но число итераций достигло заданной величины MAX_итер, то итерационный пересчет формул прекращается. Данное условие предупреждает вычисления от зацикливания. Возможно, такая ситуация, когда относительная погрешность итерации задана слишком малой величиной, а из-за погрешности машинных вычислений, которая для вещественных чисел всегда имеет место (о чем рассказывалось в §2.4.2 учебника для 10 класса), требуемая точность не может быть достигнута. Тогда итерационный пересчет продолжался бы бесконечно, если его не ограничивать по числу итераций.

В табличном процессоре MS Excel настройка параметров итераций производится через команды меню: Сервис - Параметры – вкладка Вычисления (рис.3.23)

Рис.3.23. Настройка параметров итераций

В открывшемся окне нужно включить флажок «итерации» и установить значения предельного числа итераций и относительной погрешности. Согласно рис.3.23 MAX_итер=100, δ_итер=0,001=0,1%.

Вычислительный эксперимент 1: границы с постоянной температурой.

Как уже говорилось раньше, распределение температур определяется тепловыми условиями на границе. Проведем первый вычислительный эксперимент при заданных значениях температур на всех четырех границах области, как это было описано в предыдущем параграфе: верхняя, левая и правая границы поддерживаются при температуре 100⁰С, нижняя граница имеет температуру 0⁰С.

Рассмотрим последовательность действий с электронной таблицей для реализации итерационного решения задачи теплопроводности.

1.В приграничные ячейки занесем граничные значения, как показано на рис.3.24.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
1
2	11		100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
3	10	100											100
4	9	100											100
5	8	100											100
6	7	100											100
7	6	100											100
8	5	100											100
9	4	100											100
10	3	100											100
11	2	100											100
12	1	100											100
13	0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Рис.3.24. Установка граничных значений

Следующим шагом в клетки таблицы, соответствующие внутренним ячейкам стержня, нужно занести начальные нулевые значения. Однако специально делать это не требуется, поскольку по умолчанию табличный процессор автоматически заносит во все ячейки нули.

2. Теперь следует занести в ячейки таблицы расчетные формулы, согласно (3.40). Для этого нужно:

- записать в ячейку С3 следующую формулу:

=(B3+D3+C2+C4)/4

- скопировать эту формулу во все ячейки диапазона C3:L12.

Если режим итераций настроен, то через короткий промежуток времени в ячейках сетки установятся расчетные значения температуры такие, как показано на рис.3.25.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
1		Y
2	11		100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
3	10	100	99,09	98,25	97,57	97,08	96,83	96,83	97,08	97,57	98,25	99,09	100
4	9	100	98,10	96,36	94,93	93,92	93,40	93,40	93,92	94,93	96,36	98,09	100
5	8	100	96,94	94,15	91,88	90,28	89,46	89,46	90,28	91,88	94,15	96,94	100
6	7	100	95,50	91,43	88,15	85,86	84,69	84,69	85,86	88,14	91,43	95,50	100
7	6	100	93,63	87,94	83,41	80,32	78,75	78,75	80,32	83,41	87,94	93,63	100
8	5	100	91,07	83,27	77,25	73,24	71,25	71,25	73,24	77,25	83,27	91,07	100
9	4	100	87,38	76,82	69,09	64,15	61,76	61,76	64,15	69,09	76,82	87,38	100
10	3	100	81,62	67,55	58,13	52,50	49,89	49,89	52,50	58,13	67,55	81,62	100
11	2	100	71,54	53,65	43,37	37,83	35,40	35,40	37,83	43,37	53,64	71,54	100
12	1	100	50,91	32,11	23,88	20,05	18,48	18,48	20,05	23,88	32,11	50,91	100
13	0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Рис.3.25. Результаты расчета поля температур

Таблица на рис.3.25 - это и есть искомое решение задачи! Дальше его можно анализировать. Например, используя мастера диаграмм табличного процессора, можно строить графики изменения температур в любых сечениях по осям X и Y.

На рис.3.26 показаны графики распределения температур по оси Х в горизонтальных сечениях (при постоянных значениях Y), соответствующих рядам сетки при j=1 (a) и j=6 (b). На рис.3.26-с приведена поверхностная диаграмма, которую также можно построить с помощью мастера диаграмм. Здесь функция T(x,y) представлена в виде поверхности, построенной по рассчитанным в таблице (рис.3.25) точкам. Оси X и Y лежат в горизонтально плоскости, ось температуры T – направлена вертикально вверх. Интерпретация такой диаграммы достаточно очевидная: чем выше точка на поверхности, тем более высокой температуре она соответствует. Мастер диаграмм табличного процессора не имеет средств построения картины изолиний для рассчитанного поля температур.

а)	б)

Рис.3.26.Графическая обработка результатов вычислительного эксперимента 1

Вычислительный эксперимент 2: расчет с теплоизолированной границей

В предыдущем варианте вычислений на всех четырех границах были заданы значения температур. Теперь выполним расчеты для другого варианта граничных условий. Пусть температуры на нижней, левой и верхней границах остаются такими же, как в первом варианте, а правую границу сделаем теплоизолированной. Как же задать условие для температуры на теплоизолированной границе?

Теплоизоляция означает, что через границу нет потока тепла. А это возможно только тогда, когда температуры ячеек с обеих сторон границы одинаковые (см. предыдущий параграф). Следовательно, должны выполняться равенства : .

Электронную таблицу с решением предыдущей задачи легко перестроить на вариант с теплоизолированной правой границей. Для этого во внешние ячейки у правой границы нужно внести следующие формулы: в ячейку M3: =L3, в ячейку M4: =L4 и т.д., в ячейку M12: =L12. На рис.7.10 показан вид таблицы после выполнения вычислений:

	Y
11		100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
10	100	98,73	97,52	96,41	95,44	94,62	93,95	93,44	93,07	92,83	92,71	92,71
9	100	97,40	94,93	92,68	90,71	89,07	87,75	86,73	85,99	85,52	85,29	85,29
8	100	95,95	92,11	88,65	85,66	83,19	81,22	79,72	78,65	77,95	77,62	77,62
7	100	94,28	88,91	84,13	80,09	76,80	74,22	72,27	70,90	70,02	69,59	69,59
6	100	92,26	85,09	78,88	73,75	69,67	66,55	64,24	62,63	61,61	61,11	61,11
5	100	89,66	80,33	72,52	66,33	61,58	58,05	55,50	53,74	52,65	52,12	52,12
4	100	86,04	74,02	64,55	57,45	52,27	48,55	45,94	44,18	43,10	42,58	42,58
3	100	80,47	65,14	54,21	46,65	41,47	37,93	35,52	33,93	32,97	32,51	32,51
2	100	70,70	51,87	40,47	33,47	29,03	26,15	24,26	23,04	22,31	21,97	21,97
1	100	50,47	31,17	22,34	17,71	15,03	13,38	12,32	11,66	11,26	11,08	11,08
0		0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Рис.3.27. Результаты расчета поля температур с теплоизолированной правой границей

Нетрудно заметить, что распределение температуры изменилось по сравнению с первым вариантом. На рис.3.28 показаны зависимости температуры от координаты Х в разных горизонтальных сечениях по Y. Видно, что вблизи нагревающей стенки температура меняется быстро, а с приближением к теплоизолированной границе изменение температуры замедляется. А значения температур в ячейках слева и справа от 4-й границы равны между собой. Еще раз повторим, что это связано с условием теплоизоляции данной границы.

Рис.3.28. Распределения температуры в разных сечениях по Y

Вычислительный эксперимент 3: расчет с внутренним источником тепла

А теперь выполним расчет для следующей задачи: все границы поддерживаются при одинаковой температуре 0⁰С (температура внешней среды). В центре области расположен нагреватель. Например, это может быть изолированный электрический проводник, через который пропускается ток, в результате чего проводник нагревается. Пусть в нашей модели нагреватель занимает 4 центральные ячейки: [5,5], [5,6], [6,5], [6,6] и температура в этих ячейках будет постоянной и равной 200⁰С.

Построение электронной таблицы для расчета производится в следующем порядке:

- во все граничные ячейки заносятся нули;

- в четыре центральные ячейки, где находится нагреватель, заносятся значения:

.

- во всех остальных внутренних ячейках остаются формулы вида:

В результате вычислений установится распределение температуры, показанное на рис.3.29.

	Y
11		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
10	0	5,30	10,59	15,71	20,10	22,81	22,81	20,10	15,71	10,59	5,30	0
9	0	10,59	21,36	32,13	41,89	48,33	48,33	41,89	32,13	21,36	10,59	0
8	0	15,71	32,13	49,56	67,00	80,28	80,28	67,00	49,56	32,13	15,70	0
7	0	20,10	41,89	67,00	96,25	125,51	125,51	96,25	67,00	41,89	20,10	0
6	0	22,81	48,33	80,28	125,51	200,00	200,00	125,51	80,28	48,32	22,81	0
5	0	22,81	48,33	80,28	125,51	200,00	200,00	125,51	80,28	48,32	22,81	0
4	0	20,10	41,89	67,00	96,25	125,51	125,51	96,25	66,99	41,89	20,10	0
3	0	15,71	32,13	49,56	67,00	80,28	80,28	66,99	49,56	32,13	15,70	0
2	0	10,59	21,36	32,13	41,89	48,32	48,32	41,89	32,13	21,36	10,59	0
1	0	5,30	10,59	15,71	20,10	22,81	22,81	20,10	15,70	10,59	5,29	0
0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Рис.3.29. Распределение температуры при наличии внутреннего подогрева

Полученное распределение температуры носит центрально-симметричный характер. Если строить изотермы, то они будут представлять собой окружности, в центре которых – ячейки с источником тепла. На рис.3.30 показана поверхностная диаграмма полученной зависимости T(x,y). На ней хорошо иллюстрируется симметричность распределения температуры.

Рис.3.30. Диаграмма распределения температуры от внутреннего источника