3. Развитие основных понятий ма в работах Эйлера

Рассмотрим эволюцию одного из самых основных понятий анализа – понятия функции. Если в историко-математической литературе вы встретили выражение «понятие функции в смысле определения XVIII века», то это неправомерное высказывание, так как в то время не могло быть единого общепринятого определения.

Содержание этого понятия изменялось под влиянием вопросов практики, в первую очередь, физики, а также самой логики развития математического анализа в широком смысле слова, включая развивающуюся теорию рядов и теорию ДУ. Дело в том, что расширение понятия функции встречало сильное сопротивление со стороны отдельных крупных математиков эпохи, которые требовали принятия более узкого определения.

Таким образом, в первой половине XVIII века, наряду с задачей расширения понятия функции, возникла важнейшая задача классификации функций и выявления классов, обладающих наиболее простыми и важными свойствами, например, разложения в степенные ряды.

Несмотря на то, что изучение зависимостей между величинами началось достаточно давно, оно не получило ещё аналитического выражения:

• У Лейбница и у Даламбера понятие зависимости между переменными носило геометрический характер, т.к. они рассматривали в основном зависимости между отрезками прямых. Введя само слово «ФУНКЦИЯ», Лейбниц с 1692 года называет этим термином отрезки любых прямых, связанных каким-то образом с точками определенной кривой.

• У Ньютона понятие функции связано с механической интерпретацией: аргументом любой переменной величины – флюэнты - является некоторая переменная равномерно текущая величина, аналогичная времени.

• В 1718 г. Иоганн Бернулли дал такое определение функции: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Это был первый шаг в решении проблемы, но то, что функция является аналитическим выражением, только подразумевалось.

• Непосредственным развитием определения И. Бернулли явилось определение, данное Л. Эйлером в первом томе «Введения в анализ» (1748 г.):

«Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».

Но определение Эйлера имело принципиальное отличие, состоявшее в рассмотрении значений аргумента:

«Переменное количество охватывает собой решительно все числа, как положительные, так и отрицательные, как целые, так и дробные, как рациональные, так и иррациональные и трансцендентные. Даже нуль и мнимые числа не исключаются из значений переменного количества».

Таким образом, у Эйлера, по сути, дано определение функции комплексного переменного.

• У Лейбница и Даламбера было разделение на алгебраические и трансцендентные функции, но неотчётливое. Эйлер же чётко указывает, что для составления аналитического выражения функции допустимы сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, решение алгебраических уравнений и интегрирование. Функции, получающиеся в результате этих действий (+, -, ×, :, ), исключая интегрирование, по Эйлеру – алгебраические; они делятся на рациональные (целые и дробные) и иррациональные. Применение же этих операций к элементарным трансцендентным функциям приводит к трансцендентным функциям.

• Кроме расширения области значений аргумента, Эйлер сделал принципиальный шаг вперёд в выяснении важнейших общих свойств функций, как аналитических выражений. Функции, заданные единым аналитическим выражением, он называл непрерывными, а те, которые на различных кусках интервала различными аналитическими выражениями, - разрывными, что отличается от современного определения непрерывности.

Почему же теоремы Эйлера для непрерывных функций верны?

Если вспомнить выделенные в определении выше допустимые операции, то Эйлер должен был получать функции аналитические всюду, кроме как в изолированных особых точках, в окрестности которых они должны допускать разложение в обобщённый степенной ряд, который мог содержать отрицательные и дробные степени.

Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер, по сути, выделил класс аналитических функций в смысле современной ТФКП. Именно поэтому, несмотря на другое понимание непрерывной функции, установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказались основными свойствами аналитических функций и одно из них – представимость степенным рядом.

• Во втором томе «Введения в анализ» Эйлер рассматривает геометрические приложения анализа и принимает условие: не пользоваться «никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии». Но введение в геометрию анализа и рассмотрение одной из важнейших проблем математической физики - задачи о колебании струны - заставило Эйлера расширить понятие функции и оперировать с разрывными функциями.

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением, что нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Бернулли (1753), в основе которого лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд.

Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»).

Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении. Позже, при исследовании функций многих переменных он понял ограниченность прежнего определения и признал разрывные функции, а затем, после исследования комплексного логарифма - даже многозначные функции.