5. Исследования Эйлера по вариационному исчислению.

Вариационное исчисление - раздел функционального анализа, самая типичная задача которого состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.

Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики:

• в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности;

• в физике вариационный метод - одно из мощнейших орудий получения уравнений движения;

• методы вариационного исчисления применимы в статике.

Типичными примерами вариационной задачи являются изопериметрические задачи в геометрии и механике, в частности, задача о брахистохроне, задача нахождения уравнений поля из заданного вида действия для этого поля.

В 1744 году Эйлер открывает вариационное исчисление, в его работах используются продуманная терминология и математическая символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится до уровня практических алгоритмов. Эйлеру принадлежит и сам термин (1766 год). Эйлеровский алгоритм затем блестяще развил Лагранж, что было очень высоко оценено самим Эйлером.

К концу XVIII века класс решенных вариационных задач значительно расширился, Эйлер и Лагранж изучили экстремальные свойства пространственных кривых и поверхностей.

7. Работы Эйлера по геометрии.

Всего у Эйлера 75 работ по геометрии, они занимают 3 тома «Opera omnia» - полного собрания его сочинений:

• Эйлер - один из зачинателей исследований по геометрии в пространстве, он первый во «Введении в анализ» дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве и, в частности, ввел так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты тела вокруг точки.

• Эйлера можно считать основоположником топологии. В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер дал доказательство того, что у выпуклого многогранника с В вершин, Р ребер и Г граней эти числа всегда связаны соотношениями В — Р + Г = 2. Это первая в истории математики крупная теорема топологии, изучающей свойства фигур, не меняющиеся, если фигуру можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать (но не склеивать и не рвать).

• Топологический характер носит и решённая Эйлером задача о кёнигсбергских мостах, а также – о ходе конём (1766) (разместить в 64 клетках 64 числа от 1 до 64 так, чтобы любые две клетки, содержащие последовательные числа, были связаны ходом коня).

• В работе «Исследование о кривизне поверхностей» (1760 год) Эйлер рассматривает вопрос, до того никем подробно не изучавшийся, находит простую формулу для радиуса кривизны любого нормального сечения.

• Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью ФКП из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т. е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств.

• В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему:

любая поверхность, которую можно получить, лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и не сжимая, если она не коническая и не цилиндрическая, представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой (ее ребру возврата).

• Весьма существенен вклад Эйлера в развитие теории геометрических преобразований, он рассматривал преобразования координат, преобразования подобия, аффинные преобразования, движения и симметрии на плоскости, в пространстве, движения твёрдых и жёстких тел.

• Исследовал Эйлер и конформные отображения, в частности, круговые, совпадающие с дробно-линейными. В «Рассуждениях об ортогональных траекториях» Эйлер сделал множество открытий по конформным отображениям и блестяще применил их в ряде своих работ по картографии.

• работы Эйлера в области сферической геометрии явились первыми исследованиями внутренней геометрии кривой поверхности. Они, а также его исследования по сферической геометрии оказали несомненное влияние на Лобачевского.

В заключение описания геометрических работ Эйлера приведём слова немецкого математика Коммереля: «Слава и заслуги Гаусса не пострадают, если мы укажем на то, что ряд мыслей и методов, которые Гаусс так блестяще использовал …, имеется уже у Эйлера. Речь идет, например,

о сферическом отображении (когда куску поверхности ставится в соответствие кусок сферы радиуса 1, состоящий из всех таких точек, в которых радиусы этой сферы параллельны нормалям к поверхности в точках этого ее куска),

о задании поверхности в параметрической форме, совпадении линейных элементов как условии наложимости при изгибании,

об исследовании геодезических линий (т. е. кратчайших линий на поверхности между двумя ее точками) при помощи угла, который они образуют с кривыми некоторого семейства на поверхности, и другие».