5. Развитие теории дифференциальных уравнений

а) Основные направления развития теории ОДУ в XVIII веке

1) Первые же задачи динамики точки, сформулированные аналитически, потребовали методов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем. В частности к нелинейным уравнениям второго порядка привело важное для практических приложений нахождение геодезических линий на поверхности.

2) Все более серьёзное значение в механике приобретала теория малых колебаний материальных систем с конечным числом степеней свободы, а для её дальнейшего развития было необходимо развитие теории линейных ДУ. Методов решения ЛДУ и их систем требовали и теории построения маятников, теория колебания струны и изучение распространения звука.

3) Такое направление теории ОДУ, как численные методы приближенного интегрирования ДУ, было обусловлено требованиями небесной механики. Часто решение проблемы приводило к уравнениям и их системам, неинтегрируемым в конечном виде.

4) Задачи быстроразвивающейся дифференциальной геометрии нуждались в изучении особых решений ДУ, главнейшими из которых были задачи о нахождении огибающих и изогональных траекторий семейств кривых. (Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом φ, называются изогональными траекториями).

Итак, уровень накопленных к началу XVIII века о свойствах и способах решений ОДУ был совершенно недостаточен для исследования новых проблем, поэтому уже со второй четверти столетия наблюдалось значительное повышение интереса к этой области. Например, в первом же томе «Комментариев» Петербургской АН (1726 г.) были помещены статьи Я. Германа, Х. Гольдбаха, И. Бернулли, его сыновей Николая и Даниила. Весьма значительное развитие в XVIII столетии теория ОДУ получила в трудах Эйлера, братьев Бернулли, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.

Отметим сначала, что у математиков того времени задача интегрирования ОДУ ставилась как задача нахождения полного (общего) интеграла, а необходимое частное решение выделялось потом с помощью некоторого выбора значений произвольных постоянных, соответствующих в подавляющем большинстве случаев постановке задачи с начальными условиями.

б) Методы интегрирования нелинейных ОДУ

Из нелинейных ДУ Эйлера более всего привлекало уравнение Риккати в его различных формах, причём интерес к нему был связан, не столько в связи с задачами механики и геометрии, сколько с рядом вопросов гидравлики и колебания неоднородной струны, появившихся в зоне его интересов. Из множества нелинейных уравнений Эйлер в результате выделил довольно широкий класс уравнений, названных им «однородными». Кроме того, им были исследованы более общие уравнения высших порядков, чем уравнения Лагранжа, соответственно обобщив прием интегрирования исходного уравнения по независимому переменному.

Охарактеризуем вкратце достижения Эйлера в этой области:

• Интегрирование уравнения Риккати с помощью непрерывных дробей.

Первым непрерывные дроби к интегрированию ДУ применил Лагранж. Две самые ранние работы Эйлера по теме относятся к 1737-1739 году, но опубликованы значительно позже. В них Эйлер рассмотрел широкий круг вопросов:

• развитие ряда алгоритмов, связанных с непрерывными дробями,

• суммирование бесконечных рядов с помощью непрерывных дробей,

• применение непрерывных дробей при решении вопросов итерационного исчисления и приближённого решения алгебраических уравнений. методы суммирования непрерывных дробей некоторого частного вида,

• сведение задачи суммирования непрерывной дроби к интегрированию соответствующего уравнения Риккати.

• Методы понижения порядка.

Интегрирование нелинейных уравнений, как известно, представляет большие трудности, более или менее полная теория развита только для некоторых классов таких уравнений. У Эйлера задача понижения порядка решена для 4 типов уравнений:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , причём новыми оригинальнейшими методами.

• Метод интегрирующего множителя.

В работе «О дифференциальных уравнениях второго порядка» Эйлер впервые в теории ДУ поставил задачу о частичном интегрировании уравнений второго порядка, т.е. задачу (в современной терминологии) нахождения первых интегралов, и для её решения использовал метод интегрирующего множителя. Основное содержание работы:

• указание общих форм ДУ различных порядков, допускающих интегрирующие множители,

• попытка классификации интегрирующих множителей,

• нахождение первых интегралов с помощью различных интегрирующих множителей.

Для примера, Эйлер нашёл для уравнения

интегрирующий множитель

(при имеется множитель не 2-го, а 1-го порядка).

в) Теория линейных дифференциальных уравнений

До работ Эйлера изучены, в основном, были только ЛДУ 1-го порядка. Исследования Эйлера в этой области представлены четырьмя циклами работ:

1 цикл - работы, содержащие решения разнообразных линейных задач механики и физики, большая часть этих исследований приходятся на 1725-1750 гг.:

• особое внимание отведено проблеме малых колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы;

• впервые даны аналитические методы динамики точки. в частности рассмотрены колебательные движения в среде с сопротивлением («Механика», т.1-2, 1736);

• опубликована серия работ о колебаниях сложных маятников, тяжелой нити, приливах и отливах, распространении колебаний в упругой среде.

В этих работах Эйлер пришёл не только к методам интегрирования однородных и неоднородных уравнений второго порядка, но и линейных систем ДУ с постоянными коэффициентами.

2 цикл – первые теоретические работы о линейных уравнениях с переменными коэффициентами (до 1743 г.).

3 цикл – специальные работы о линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Это, в основном, две работы: «Об интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков» и «О распространении колебаний упругой среды».

4 цикл - дальнейшее развитие теории ЛДУ с переменными коэффициентами. Этот цикл начинается мемуаром «Метод дифференциальных уравнений высших порядков» и заканчивается работами о сопряжённых уравнениях, представляющими собой развитие результатов Лагранжа.

г) Методы приближенного решения ДУ

В работах Эйлера по небесной механике получил дальнейшее развитие метод бесконечных рядов. Создание методов приближенного анализа стимулировала и математическая физика. Классическими методами того времени являлись:

• разложение в степенной ряд. Для многих типов дифференциальных уравнений не может быть найдено точное аналитическое решение. В этом случае дифференциальное уравнение можно решить с помощью приближенных методов, и, в частности, с помощью разложения в степенной ряд неизвестной функции.

• метод ломаных - численный метод решения (систем) ОДУ («Интегральное исчисление» (1768)), основанный на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

• Необходимость решения вопросов теоретической астрономии и математической физики привели его к применению для приближенного решения ДУ тригонометрических рядов. В мемуаре «Простой метод получения рядов…» (1793 г.) он писал, что в теоретической астрономии все аналитические выражения представляются такими рядами, члены которых суть синусы или косинусы кратных углов и указал виды таких рядов для изучения регулярного и нерегулярного движения планет. Кроме того, в одном из мемуаров по вопросу определения коэффициентов тригонометрических разложений он сначала открыл способ их приближенного вычисления, основанный на идее тригонометрического интерполирования, а потом и способ интегрального их представления (совпадающий с современным).

д) Теория ДУ в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математики. Эти уравнения характеризуются тем, что для их решения не существует единого универсального алгоритма, и большинство задач требует своего собственного особого подхода. Уравнениями в частных производных описывается множество разнообразных физических явлений, и с их помощью можно с успехом моделировать самые сложные явления и процессы (диффузия, гидродинамика, квантовая механика, экология и т. д.).

Дифференциальные уравнения в частных производных требуют нахождения функции не одной, как для ОДУ, а нескольких переменных, например или . Постановка задач включает в себя само уравнение (или систему уравнений), содержащее производные неизвестной функции по различным переменным (частные производные), а также определенное количество краевых условий на границах расчетной области. Сами уравнения в частных производных несколько условно можно разделить на три основных типа:

• параболические - содержащие первую производную по одной переменной и вторую - по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

• гиперболические - содержащие первую производную по одной переменной и вторую - по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

• эллиптические - содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.

Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734-1735 годам (опубликованы в 1740 году). В современных обозначениях оно имело вид: . В тех же работах имеется и первая постановка задачи о решении уравнения с частными производными первого порядка, правда, ещё не совсем чёткая. Она связана с изучением задач геометрии и развитием метода интегрирующего множителя.

Начиная с 1743 года, к работам Эйлера присоединился Даламбер, предложивший общее решение волнового уравнения для колебаний струны в виде суммы 2 произвольных функций , определяемых по начальным и граничным условиям , где - длина струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. В частности, они разошлись во мнениях о природе допустимых функций, входящих в решение уравнений с частными производными, в этот научный спор были вовлечены почти все крупные математики нескольких поколений, что существенно повлияло как на интерес к теме, так и на дальнейшее развитие теории ДУ в ЧП.

В 60-х годах в ряде работ Эйлер устанавливает связь между задачами интегрирования уравнений и теорией уравнений в полных дифференциалах, что дало ему возможность в новой области опереться на прежние свои результаты в области теории ОДУ. Развивая метод интегрирования отдельных классов уравнений в ЧП, он использует методы решения уравнений в полных дифференциалах, в частности метод интегрирующего множителя.

В 1755 году публикуются «Общие принципы движения жидкостей» Эйлера, в которых положено начало теоретической гидродинамике, выведены основные уравнения гидродинамики (уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости, разобраны решения системы для разных частных случаев. Основные результаты Эйлера в области интегрирования уравнений математической физики (задачи о колебании струны, пластинки, мембраны) стимулировали развитие теории ДУЧП и обеспечивал отправную точку для открытий других ученых Лагранжа, Лапласа и пр., но ещё не создали завершённой теории.