1.3. Зарождение математических представлений в каменном и бронзовом веках

Начало первых абстрактных представлений у праславян относится к палеолиту. Понятно, что прямых источников мы не имеем, а пользуемся косвенными, в частности, археологическими находками - предметами искусства.

При раскопках древнейшей Мезинской стоянки эпохи палеолита (Черниговщина, ≈30-25 тысяч лет назад) найдены выделки из кости с правильными геометрическими орнаментами, в частности, пластинчатые браслеты из кости мамонта с рисунком «ёлочкой» (охра). Один из них состоит из 5 узких пластинчатых полос, причём ритм составных элементов орнамента, их расположение на всех 5 пластинах совершенно одинаково. Ясно, что возможность появления такого изделия обязательно предполагает наличия в сознании его создателя идей, представляющих для нас интерес:

1. идея количества и счёта. Число чёрточек, повторяющихся на каждой из 5 пластинок, должно быть как-то подсчитано, а поскольку число их сравнительно велико (4 зоны по 12-14 чёрточек), то можно предполагать умение считать, по крайней мере, до 20 (число пальцев на руках и ногах);

2. идея ритма, выраженная в правильном построении орнамента, в частности – проступает понятие симметрии;

3. идея меры и измерения. Расстояния между соседними чёрточками одинаковы, а также длина самих чёрточек, ширина и длина пластинок, составляющих браслет. Значит, их как-то измеряли, хотя бы «на глаз»;

4. идея угла и наклона. Угол наклона чёрточек совершенно одинаков на всех 5 пластинах;

5. первые представления о геометрической форме (отрезок прямой, точка, квадрат, треугольник и т.д.).

Умение считать подтверждает еще одна находка – пластинка с наклонными чёрточками «ёлочкой» в 2 ряда. Количество чёрточек в каждом ряду одинаково, но места окончания не совпадают (подсчитаны, может быть сравнением).

Другой браслет покрыт ещё более сложным «меандровым» орнаментом, а на лопатке мамонта изображены строго параллельные линии (прямые и зигзагообразные). Учитывая возраст находок, можно резюмировать, что все эти исключительно важные свидетельства отражают развитие абстрактной мысли и зарождение первых математических представлений у праславян.

Еще больше непрямых источников принадлежит эпохе неолита. В Трипольской культуре (Дунайско-Днепровское междуречье, VI-III тыс. до н.э.) орнаменты на глиняных сосудах отличаются, во-первых, значительной сложностью построения и геометрической точностью его структурных элементов, что показывает наличие у мастера высокую ступень развития идеи симметрии, предполагающую высокую технику измерения. В частности, весьма распространены мотивы окружности и круга. Правильная форма сосудов отражает определённый уровень пространственных представлений.

Подробное изучение орнаментов трипольского поселения дало возможность утверждать [Б.А. Рыбаков], что 1) число приобрело уже мистическое значение; 2) в это время уже были известные простейшие дроби и деление (круг, полукруг); 3) их жилища имели правильную прямоугольную форму, что предполагает измерение отрезков и построение прямых углов.

Хронологически существование трипольской культуры совпадает с возникновением и развитием древнейших цивилизаций – египетской и вавилонской (по последним данным украинских учёных она более ранняя, чем шумерская). Эти цивилизации характеризуются высоким уровнем накопления математических знаний, что известно довольно хорошо. Население Восточной Европы имело некоторые связи с указанными цивилизациями, поэтому нельзя исключать определенного влияния на возникновение и развитие математических знаний у праславянских племен. Однако, нельзя преувеличивать такое влияние, т.к. оно уменьшалось по мере удаления племен вглубь территорий, поэтому большая часть знаний несомненно является достижением коренного населения.

Несколько большее значение имело культурное взаимовлияние в эпоху бронзового века, когда межплеменной обмен, в связи с развитием металлургии, достиг значительных масштабов. У праславянских племен Восточной Европы были оживлённые связи с северо-восточными, восточными и южными соседями. На левобережье Днепра найдены бронзовые изделия, изготавливаемые уральскими, кавказскими и трансильванскими литейщиками и кузнецами. В III тысячелетии до н.э. наши предки уже были знакомы с изготовлением изделий из бронзы, что свидетельствует о наличии понятия пропорции и пропорционального деления (части сплава).

Лингвистические данные свидетельствуют о том, что население Восточной Европы знало счёт до 1000, а, может быть, и выше; известны были действия сложения, умножения. деления (например, на 2, 3, 4 (наличие слов для обозначения половины, трети и четверти).