1.4. Элементы математических знаний у скифско-сарматских племён

Скифско-сарматские племена (Крым и Северное Причерноморье) в период с VI в. до н.э. по II-III в. н.э. находились в тесном соприкосновении с восточнославянскими племенами, испытывая в то же время влияние эллинистической культуры (Босфор, Херсонес, Ольвия и т.д.). Археология собрала достаточно сведений, чтобы составить представление об уровне их культуры вообще и математических знаний в частности.

Раскопки Неаполиса, столицы Скифии, подтвердили мнения учёных о геометрических знаниях скифов.

• Зернохранилище, вырубленное в материковой скале, имеет форму прямоугольного параллелепипеда 11,75×5,47×0,9 м.

• План вскрытой части города показал, что улицы прямолинейны, а стены домов выдерживались с достаточными условиями параллельности и перпендикулярности (отклонение до ), хотя строительный материал очень грубый.

• Скифам была хорошо известна окружность (контуры выходных отверстий зернохранилищ, кольца, бронзовые зеркала, подвески из скифских курганов).

• Так в орнаментах некоторых зеркал встречаются элементы деления окружности на 3, 4, 6 и 8 частей и вписанные многоугольники с таким же числом сторон,

• Использованы элементы симметрии, как осевой, так и центральной.

• Кроме того, у поздних скифов выработалось понятие о подобии фигур (зарисовки около Керчи и Тамани).

Здесь очень вероятно влияние греческого прогресса (I в. до н.э. – I в. н.э.).

Загадкой для современной истории математики являются так называемые «сарматские знаки» (тамга). Большое количество сарматских знаков, зафиксированных в Северном Причерноморье, представлено в монографиях Э.И. Соломоник (1959) и В.С. Драчука (1975). Исследования последних лет (Симоненко О.В., 1999; и др.) значительно увеличили фонд источников данного рода, но не привели к однозначному решению проблемы функций сарматских знаков, как и тамгообразных знаков в целом (Васильев Д.Д., 1998).

Единицей измерения у скифов, как показывают промеры толщины стен, диаметров зерновых ям и пр., видимо, был принят «локоть». Определить уровень арифметических знаний у скифов оказалось сложнее. Существуют мнения историков, что скифы к III-II в. до н.э. владели счётом выше 1000 и четырьмя арифметическими действиями. Поздние скифы знали простейшие дроби (половина локтя), а после появления у них пятеричной системы счисления овладели дробями со знаменателем 5 и умением складывать такие дроби.

Продолжительное общение скифов и сарматов с греками (Херсонес, Боспор и Ольвия) привело к заимствованию письменности и некоторых математических знаний (использование ионийской нумерации на плитах ≈208 г.).

1.5. Математические знания у древних восточных славян

В письменных источниках древние славяне как самостоятельная историческая сила фигурируют с начала нашей эры, но сведения очень скудны и схематичны до эпохи Киевской Руси. Прямых сведений о развитии различных знаний у них, в частности математических, нет, но сравнительно высокий уровень общей культуры славян в I тысячелетии н.э. позволяет считать, что и в области математических знаний был сделан шаг вперед. Древними славянами было усвоено всё наследие предыдущих эпох, но известны и некоторые особые моменты. Например, начиная с I-II в. н.э. у славян возникает денежное обращение (с использованием римской серебряной монеты), которое возможно только при наличии достаточно полных арифметических знаний, владения арифметическими действиями и высокой техникой весовых измерений. Сравнение отношения весов древнерусских и римских монет показывает повторяющееся соотношение 1:20 и 1:40, это говорит о том, что именно в первые века нашей эры сложилась основная метрическая система Древней Руси.

К первым векам нашей эры относятся и сведения о первых попытках письменной фиксации математических понятий в связи с зарождением древнеславянской письменности. На Киевщине найден календарь (IV-V в. н. э., с. Ромашково), нанесённый на кувшин в виде орнамента и представляет собой отражение своеобразного расписания сельскохозяйственного цикла (от 1апреля до 6 августа), основными фиксированными датами являются 4 июня (Ярилин день), 24 июня (Ивана Купала), 20 июля (день бога-громовержца, позднее у христиан Ильин день). Хронологически дни между датами обозначены квадратиками, число их соответствует количеству дней. Ромашковский календарь является прямым очень важным источником о знаниях до эпохи Киевской Руси, т.к. свидетельствует не только о высокоразвитой технике счёта, но и об определённом уровне астрономических знаний, непременно предполагающих соответствующий уровень овладения математическими знаниями.

Внимательное рассмотрение и сравнение мер различных эпох и народов даёт возможность утверждать, что в прошлом существовало много сходных, близких, но не тождественных мер (из-за использования антропологического принципа их построения).

1. Измерение длины. У древних славян такими мерами являлись «сажень» и «локоть» («лакъть», от него слова «локчать», «лехчить» - считать, измерять). Локоть – расстояние от конца среднего пальца до локтя – впервые упоминается в «Русской правде» и в среднем равен 46 см. В качестве меньшей меры длины использовалась палец, стопа, пядь. Сажень упоминается в одном из первых письменных памятников Древней Руси (несколько вариантов сажени). Кроме того, небольшие расстояния измерялись шагами, большие – двойным шагом или тростью (жердиной).

2. Измерение площади. Древними являются единицы измерения больших площадей в сельском хозяйстве – «день» или «плуг» (мера вспашки земли за день парой волов). Прочное место в измерении больших площадей земли заняла «русская десятина», но на севере использовали – «выть» = 6-10 десятин, а в Приднестровье – «полосы» или «отрезки» (3 десятины) и «планки» или «ваканы» (6 десятин).

3. Измерение сыпучих тел. Интересно, что они совпадают с римскими мерами, особенно для зерна, что объясняется широко распространённой торговлей хлебом с Римом («четверик»= римскому «квадранталу»). Четверик содержал в себе 9 мерок или 8 четвертей, четверть – 8 гарнцев, вошедших в употребление намного позднее. Существовали и другие местные меры: «пуд» (или «мерка») и «маленок» (в Поволжье).

Геометрические познания древних славян тоже имеют практическое происхождение. Непрямым источником сведений опять служит народное искусство, в частности орнамент. В качестве мотивов орнамента использовались: точки, прямые линии, углы, параллельные и перпендикулярные линии, прямоугольники, треугольники, окружности и др. (посуда, вышивка, мережка, покрой одежды). При строительстве прямоугольных изб, например, пользовались свойством диагоналей прямоугольника, а в процессе труда вырабатывались различные способы измерения высоты недоступных предметом, расстояний до них и другие способы измерений.

Способы определения площадей участков, которые, в основном, были прямоугольной, трапецевидной или треугольной (прямоугольный треугольник или близкий к нему) формы были таковы:

• площадь трапеции вычислялась как произведение полусуммы оснований на меньшую сторону;

• площадь треугольника – как половина произведения сторон, образующих наибольший угол;

• площадь произвольного поля – как площадь частей той формы, которые умели определять.

В глубокую древность уходят знания окружности, её элементов и свойств круга. У наших предков существовали различные приёмы определения соотношения между длиной и диаметром окружности. Такие знания были нужны в бондарном деле, при изготовлении колес и спиц к ним, дна бочек, гончарного производства и пр. например, для изготовления дна, измеряли бочку верёвкой, складывали её втрое и измеряли ширину доски, из которой следовало вырезать дно с наименьшими потерями.

Интересно, что многие славянские городища (I тыс. до н.э.) имели округлую форму. Эта же округлая форма свойственна и сосудам, изготовленным вручную без гончарной формы. В дальнейшем появились и другие формы посуды, которую можно примерно разделить по вместимости на несколько групп. Значит, уже в то время зародилось понятие об измерении ёмкости. Со временем появились и предметы цилиндрической и конической формы, а потом и способы нахождения их объёмов.