Компоненты и направляющие косинусы вектора

Пусть . Координаты вектора в базисе , называются компонентами вектора и обозначаются . В частности, если , то . Для произвольного вектора равенство будет означать, что

.

П редположим, что и обозначим через , , углы, образованные вектором с векторами , , соответственно:

Косинусы этих углов, т.е. , называются направляющими косинусами вектора . Справедливы формулы:

,

, , . (1)

Из этих формул следует, что

.

Вектор называется ортом вектора . Из формул (1) следует, что

Видно, что орт одинаково направлен с вектором и имеет единичную длину.

Пример. Для вектора имеем

, , , ,

, , ,

. 

Предложение. Расстояние между точками и в произвольной декартовой системе координат вычисляется по формуле:

, (2)

где и координаты точек и в данной системе координат.

По условию ,

отсюда ;

Поэтому формула (2) следует из (1)

Замечание. Для векторов из плоскости имеют место аналогичные формулы:

, ,

, ,

,

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов и называют произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:

, (1)

где – угол между и ( ).

Если или , то считают . Кроме обозначения для скалярного произведения применяются обозначения: , или .

Возможны три случая:

1.  , т.е. – острый или нулевой угол;

2.  , т.е. – тупой или развернутый угол;

3.  или или .

Произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают .

Справедливы свойства:

1. ,

2. (коммутативность),

3. при ,

4. (дистрибутивность).

Свойства 1-3 следуют непосредственно из определений. Свойство 4 выводится из следующего предложения.

Предложение. Если - ортогональный базис пространства , то координаты произвольного вектора в этом базисе вычисляются по формулам:

, , . (2)

Требуется доказать, что коэффициенты разложения

находятся по формулам (2). В случае формулы (2) очевидны, так как в этом случае .

Пусть . Предположим, что ортонормированный базис. Тогда формулы (2) принимают вид:

, , . (2)

Легко видеть, что

, , ,

где – угол между и . Отсюда и из формул

следуют равенства (2).

Пусть теперь среди попарно ортогональных векторов имеется не единичный вектор. Положим

, , ,

(то есть – орт вектора ). Векторы образуют ортонормированный базис пространства . По доказанному, для произвольного вектора коэффициенты разложения

находятся по формулам

, , .

Отсюда получаем

.

Поэтому верны формулы (2).

Следствие 1. Компоненты вектора вычисляются по формулам:

, , .

Следствие 2. Для любых векторов справедливо равенство

, (3)

т.е. скалярное произведение дистрибутивно.

Если , то обе части равенства (3) равны нулю.

Пусть . Положим , а векторы выберем так, чтобы тройка векторов являлась ортогональным базисом. Первые координаты векторов в выбранном базисе равны соответственно числам:

Но при сложении векторов их координаты складываются, поэтому

.

Отсюда следует формула (3).