Свойство дистрибутивности векторного произведения

Для любых трех векторов пространства справедливо равенство:

. (1)

Пусть  ортонормированный базис пространства . Для имеем

.

Таким образом, соответствующие координаты векторов и в базисе равны.

Следствие. Справедливо равенство

Действительно, .

Векторное и смешанное произведения в координатах

Покажем, как выражаются векторное и смешанное произведения через координаты векторов.

Предложение1. Если

и ,

то

, (1)

где правая часть по определению равна

.

Имеем следующую таблицу умножения координатных ортов:

Пользуясь свойствами векторного произведения, получим:

( ) ( )=

.

Пример. Даны три точки: , , . Найдем площадь S тре-угольника . Заметим, что искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. верна формула

.

Так как , , то

и, значит,

.

Ответ: . ð

Предложение 2. Смешанное произведение векторов

, ,

вычисляется по формуле

.

По предыдущему утверждению,

.

Следовательно,

.

П ример. Даны точек , , , найдем объем пирамиды . Искомый объем в 6 раз меньше

объема параллелепипеда, построенного на векторах , т.е. верна формула

.

Имеем: , , . Следовательно,

.

Ответ: . ð

Замечание. Из предложения 2 следует, что векторы

, , ,

компланарны в том и только в том случае, когда

.

Общее уравнение плоскости

Пусть в системе координат дана точка и вектор , . Получим уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Точка лежит на этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы

и ортогональны, т. е. если . Так как ,

то искомое уравнение имеет вид

.

Обозначив , из получаем общее уравнение плоскости:

Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. Для плоскости, имеющей уравнение , одним из нормальных векторов является вектор .

Пример. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . По условию является нормальным вектором плоскости и точка лежит на плоскости. Поэтому можно применить уравнение , считая . В результате получим уравнение

или . ð

Неполные уравнения плоскостей

Рассмотрим случаи, когда среди коэффициентов уравнения есть нулевые.

1. . Нормальный вектор перпендикулярен оси , так как . Плоскость параллельна оси :

2. . Вектор перпендикулярен , так как .

Плоскость параллельна оси :

2. перпендикулярен , так как .

П лоскость параллельна оси

2. .

Плоскость параллельна координатной плоскости (перпендикулярна оси ):

2. , .

Плоскость параллельна координатной плоскости (перпендикулярна оси ):

2. , . Плоскость параллельна координатной плоскости (перпендикулярна оси ):

2. . Плоскость проходит через начало координат.