Пространство p

Алгебраическим полиномом, (или многочленом) степени не выше называют функцию вида

,

где - фиксированные числа, называемые коэффициентами полинома , а - независимая переменная. Если , тогда имеет степень .

Если кроме полинома задан полином , то их суммой называют полином

,

а произведение полинома на число определяется равенством

.

Множество всех алгебраических полиномов в степени не выше , на котором линейные операции определены по указанным выше правилам, обозначается p

ПРОСТРАНСТВО

Множество всех функций, непрерывных на отрезке обозначается .

Если функции и непрерывны на , то сумма и произведение , R – фиксировано, тоже непрерывны на .

Таким образом, в пространстве определены линейные операции. Функцией противоположной к функции называется функция . Нулевым элементом пространства называется функция на .

Очевидно, что для любой функции , принадлежащей , верно равенство .

Определение линейного пространства

Множество , состоящее из элементов , называется линейным пространством, если на этом множестве определены две операции – сложение элементов и умножение элементов на число, удовлетворяющие следующим условиям (аксиомам):

1. ;

2. ;

3. Существует элемент такой, что для любого ;

4. Для любого существует элемент , такой, что ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

Здесь - произвольные элементы из , и - произвольные числа.

Условия 1-4 выражают основные свойства операции сложения: коммутативность, ассоциативность, существование нулевого элемента, существование противоположного элемента.

Условия 5 и 6 относятся к операции умножение вектора на число, а условия 7 и 8 связывают между собой две линейные операции. Условие 7 выражает свойство дистрибутивности (или распределительности) для сомножителя из . Условие 8 – свойство дистрибутивности для числового сомножителя.

Элементы произвольного линейного пространства часто называют векторами, а само линейное пространство часто называют векторным пространством.

Векторы называются пропорциональными, если один из них получается из второго умножением на некоторое число. В частности, нулевой вектор пропорционален любому вектору.

Примеры: V , V , V , , , , .

Еще одним примером линейного пространства является так называемое нулевое пространство. Это пространство состоит из одного элемента , а линейные операции определяются формулами: , R .

Простейшие следствия из аксиом линейного пространства

Утверждение 1. В каждом линейном пространстве нулевой вектор только один.

Если и - нулевые элементы линейного пространства , то

.

Утверждение 2. Для любого вектора существует только один противоположный элемент.

Предположим, что и , тогда

.

Элемент противоположный обозначается .

Утверждение 3. Произведение любого вектора на число равно нулевому вектору.

Утверждение 4. Произведение любого вектора на число равно вектору, противоположному вектору , (т.е. ).

Согласно утверждению 2 достаточно убедиться, что . Имеем:

.

Утверждение 5. Произведение нулевого вектора на любое число равно .

Для произвольного вектора и любого R, имеем:

.

Следствия:

1. Если и , то .

Если и , то .

2. Если , то .

Если , то .

Пусть , вектор называется разностью векторов и , если (обозначение: ).

Утверждение 6. Для любых элементов и линейного пространства разность существует и единственна.

(Существование) Для вектора имеем: .

(Единственность) Предположим, что и докажем, что тогда . Имеем: .