§ 2. Похибки посередніх вимірювань

У більшості випадків безпосередні вимірювання є лише окремими етапами при знаходженні тієї чи іншої величини яку обчислюють за допомогою формули за знайденими да- ними. Так, об’єм паралелепіпеда V визначають за резуль- татом безпосередніх вимірювань довжини І, ширини а і висоти h за допомогою формули V = alh. Вимірювання,в яких шукану величину розраховують за формулами і даними посередніх вимірювань, називають посередніми. При посередніх вимірюваннях похибка результату залежить як від похибок безпосередніх: вимірювань, так і від вигляду формул, за якими проводять обчислення.

Наведемо правила знаходження похибок при основних арифметичних діях.

Похибки доданків можуть бути різнозначними і впливають на похибку результату по-різному (одні — збільшують її, а інші — зменшують). Але, дбаючи про те, щоб похибки результату не були заниженими, мінуси перед доданками замінюють на плюси. Похибки суми і різниці вважають такими, що дорівнюють сумі похибок доданків і від’ємників:

Відносну похибку суми і різниці знаходимо з відношена похибки до самої величини:

Похибку добутку ab знаходимо як різницю добутків з по- хибками (а ± a) (b ± b) і без них (ab):

= (a ± ) (b± ) – ab = ab ± b ± a ± – ab = ± (a ± b

Членом а Ь нехтуємо як малою величиною. Таким чином, похибка добутку дорівнює

(ab) = ± (a

Поділивши похибку добутку А (аЬ) на сам добуток аЬ, ді­станемо відносну похибку добутку

Для добутку кількох множників формула аналогічна:

Відносну похибку частки знаходять за такими самими правилами, як і для добутку. Справді,

Але можна показати, що ,

Тому

Отже, відносна похибка добутку і частки дорівнює сумі відносних похибок множників і дільників. Піднесення числа a до степеня n зводиться до n-разового множення його самого на себе:

Тому за формулою відносної похибки добутку маємо:

Справді, похибку можна розглянути як різницю числа

без урахування похибки і того самого числа з урахування похибки тобто, = - = .У знаменнику ∆b нехтуємо через його малу величину порівняно з b.Відношення похибки до самого числа дає відносну похибку ,тобто таку саму, як і відносна похибка числа b.

Добування кореня n-степеня з а можна розглядати як піднесення числа а до дробового степеня

Тому на підставі попередньої формули дістанемо:

Оскільки про точність вимірювання зручно судити за відносною похибкою, то в кінцевих даних довільних вимі­рювань, крім результату і його похибки, треба визначити і відносну похибку в процентах.

На с. 10 наведено/таблицю для знаходження похибок і відносних похибок результату посередніх вимірювань при основних математичних операціях.

Аналіз таблиці дає змогу зробити дуже корисний висно­вок: при додаванні і відніманні наближених значень вели­чини додаються похибки, а при множенні і діленні додають­ся відносні похибки. Тому при операціях множення, ділен­ня, піднесення до степеня і добування кореня знаходження похибки результату доцільно починати не з визначення по­хибки, а із знаходження відносної похибки. Знаючи від­носну похибку і результат а, визначаємо похибку ре­зультату простим множенням:

При операціях додавання і віднімання наближених зна­чень (а також знаходженні їх тригонометричних функцій) обчислення похибок доцільно починати з обчислень похибок результату, а за ними, як завжди, знаходити відносну по­хибку.

Похибка точного числа дорівнює нулю (точне число не може мати похибки).

Приклад. Знайти похибку, допущену при визначен­ні густини речовини прямого циліндра за формулою

якщо безпосередні вимірювання дали такі резуль­тати: маса циліндра m ± ∆m діаметр, D ± ∆D, висота h ± ∆h.

Оскільки результат знаходимо як частку, то обчислення похибок зручно починати з відносної (табл., рядок 4):

Застосовуючи до кожного числа в дужках формулу від -

носної похибки добутку (табл., рядок 3) і враховуючи, що число 4 точне, дістанемо:

Застосовуючи до члена формулу для відносної похибки степеня (табл., рядок 5), матимемо остаточно

Знаючи відносну похибку, легко знайти похибку

З цієї формули видно, що при вимірюваннях особливо ста­ранно треба вимірювати діаметр циліндра, бо його похибка подвоюється.