1.4. Квадратурные формулы Гаусса.

Пусть промежуток интегрирования непрерывной функции разбит на равных частей точками ( шаг разбиения), и  функция, аппроксимирующая подынтегральную функцию .

Пусть на каждом отрезке разбиения расположено узлов (узлы интерполяции) , в которых подынтегральная функция принимает значения .

Далее, пусть аппроксимирующая функция на каждом отрезке представляет собой многочлен степени , . При этом на многочлен накладываются два ограничения:

1. В узлах интерполяции значения многочлена и подынтегральной функции равны:

.

2. Определенный интеграл от функции на отрезке является линейной комбинацией значений подынтегральной функции в узлах интерполяции :

Для получения квадратурных формул Гаусса для выбранной степени аппроксимирующей функции , нужно из условий 1) – 2) определить неизвестных коэффициентов и координаты узлов .

Задача решается одновременно для всех частей разбиения отрезка , если выразить через переменную в следующем виде:

Пусть

Тогда

и формула (21) примет вид

В частности, для получения квадратурной формулы Гаусса с тремя узлами интерполяции, в соотношении (22) необходимо определить шесть величин: Функция многочлен степени .

Замечание

В общем случае степень аппроксимирующего многочлена всегда является нечетным числом и связана с числом узлов соотношением:

Например, для трех узлов интерполяции получим многочлен пятой степени . Практически можно получить квадратурные формулы Гаусса для числа узлов интерполяции

Квадратурная формула Гаусса с тремя узлами интерполяции будет иметь вид:

где

.

Погрешность квадратурной формулы Гаусса с тремя узлами интерполяции в случае, когда подынтегральная функция имеет непрерывную производную шестого порядка, можно оценить по формуле

Пример №2.

Найти приближенное значение интеграла по квадратурной формуле Гаусса с тремя узлами интерполяции для . Сравнить полученный результат и погрешность с результатами вычислений примера №1 (см. п.1.2).

Решение

1. Оценим величину погрешности результата, получаемого по квадратурной формуле Гаусса с тремя узлами интерполяции, по формуле (5.40) (здесь ).

Для этого вычислим производные подынтегральной функции до шестого порядка включительно, продолжая вычисления примера №1 из п.1.2.:

При получаем следующую оценку величины погрешности результата:

2. Найдем приближенное значение интеграла.

При :

Квадратурная формула Гаусса с тремя узлами принимает вид

В нашем случае имеем:

Промежуточные расчеты запишем в виде таблицы:

В последней строке записаны суммы значений функции, вычисленные в соответствующих столбцах. Эти суммы в формуле Гаусса записаны в квадратных скобках.

Итого, по квадратурной формуле Гаусса с тремя узлами получаем:

3. Для сравнения сведем полученные результаты и результаты примера №1 в одну таблицу:

Квадратурная формула
прямоугольников
трапеций
Симпсона
Гаусса

Как видим, метод Гаусса дает значительно более высокую точность результата, но и требует большего объема вычислений, по сравнению с другими рассмотренными методами.



_{Замечание}

При вычислении интеграла до достижения заданной точности методом двойного пересчета условие окончания вычислений (с оценкой погрешности по правилу Рунге  см. формулы (5.27), (5.31)) имеет вид.

где число узлов в квадратурной формуле Гаусса.

При этом полагают, с точностью :

.

Однако следует отметить, что использование метода двойного пересчета эффективно в случае, когда при вычислении интеграла с уменьшенным вдвое шагом интегрирования используются ранее рассчитанные (т.е. для шага ) значения подынтегральной функции. Иначе говоря, метод двойного пересчета эффективен для равномерного расположения по оси точек, в которых вычисляются значения подынтегральной функции  что соответствует методам прямоугольников, трапеций и Симпсона (метод парабол).

В методе же Гаусса эти точки расположены неравномерно, поэтому при уменьшении шага интегрирования новые точки не совпадают по расположению с предыдущими. Поэтому, если при вычислениях по квадратурным формулам Гаусса требуется очень высокая степень точности результата, то используются более сложные методы оценки погрешности.

