2. Лабораторная работа №1 «Решение уравнений».

Задания

Найти все корни уравнения с точностью до 0,0001.

Примечание. Для расчетов можно использовать программы №№1 - 2 (на языке QBasic) из Приложения 3.

1.	2.		3.
4.	5.		6.
7.	8.		9.
10.	11.		12.
13.	14.		15.

3. Контрольные вопросы

Отделение корней уравнения

1. Что дает отделение корней?

2. Можно ли произвольно задавать значения по оси для отделения корней?

3. Какие основные проблемы могут встретиться при аналитическом отделении корней?

Нахождение корней уравнения

Метод бисекции (половинного деления)

4. В чем заключается геометрический смысл метода бисекции (половинного деления)?

5. Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделенный корень уравнения с заданной погрешностью?

6. Как выбираются концы отрезка следующего интервала в методе половинного деления?

7. Какими свойствами должна обладать функция , чтобы методом половинного деления можно было гарантированно решить уравнение ?

8. Можно ли найти корень методом половинного деления, если он находится на границе интервала?

Метод простой итерации

9. Какой функцией заменяется левая часть уравнения в методе итераций?

10. Что называется сходимостью метода итераций?

11. С какой стороны может осуществляться приближение к корню в методе итераций — слева или справа?

12. Если на заданном отрезке имеется два корня, то, что можно сказать о сходимости метода итераций на этом отрезке?

13. Что означает несходимость процесса итераций?

Метод касательных (метод Ньютона)

14. В чем заключается геометрическая интерпретация метода Ньютона?

15. Из каких соображений в методе Ньютона выбирается первое приближение ?

16. Что необходимо для того, чтобы уравнение решалось методом Ньютона?

17. В каких случаях применение метода Ньютона не рекомендуется?

Тема №2. Решение систем линейных уравнений

1. Основные сведения

Рассмотрим решение системы n уравнений с n неизвестными:

(2.1)

Система такого вида называется линейной.

Методы решения системы линейных уравнений разделяются на прямые и итерационные.

1.1 Прямые методы

Одним из наиболее распространенных прямых методов является метод Гаусса и его модификации: схема частичного выбора, схема полного выбора.

Простейший вариант метода Гаусса называется схемой единственного деления, и включает два этапа: прямой ход и обратный ход.

Прямой ход метода состоит из шагов исключения, в результате чего система приводится к виду:

(2.2)

Это преобразование системы осуществляется следующим образом:

Первый шаг

• Предположим, что элемент . Будем называть этот элемент главным или ведущим элементом первого шага.

• Найдем величины .

• Вычтем последовательно из второго, третьего,…, n-ого уравнения системы (2.1) первое уравнение, умноженное соответственно на .

В результате коэффициенты при x₁ во всех уравнениях, кроме первого, обратятся в нуль.

Второй шаг

• На втором шаге при помощи a₂₂ (главного или ведущего элемента второго шага) также обратим в нуль коэффициенты при x₂ во всех уравнениях, начиная с третьего.

И так далее.

• После таких действий получим систему (2.2), матрица которой является верхней треугольной. На этом заканчивается прямой ход метода.

Обратный ход метода начинается с нахождения из последнего уравнения системы (2.2). Подставляя найденное в предпоследнее уравнение, находим . И таким образом, продвигаясь от последних уравнений системы к первому, находим все значения неизвестных.

Пример №1. Решить систему методом Гаусса