Решение
Получим систему с преобладающими диагональными элементами.
Для этого первым уравнением возьмем второе, третьим – первое, а вторым – сумму первого с третьим:
Разделим каждое уравнение на его диагональный коэффициент и выразим из каждого уравнения диагональное неизвестное
Теперь необходимо проверить одно из условий сходимости.
Условие (2.6) не выполняется, так как максимальная сумма модулей коэффициентов по столбцам (при ) больше единицы:
0,64925+0,36262>1.
Однако выполняются условия (2.7) и (2.8).
Например, максимальная сумма модулей коэффициентов по строкам (условие (2.7), определяющее в пространстве евклидову метрику) меньше единицы:
0,51311+0,26557=0,77868<1.
Таким
образом, итерационный процесс будет
сходящимся и норму матрицы
можно оценить
.
В пространстве с евклидовой метрикой (2.8) имеем:
(0,64925)2+(0,03358)2+(0,51311)2+(0,26557)2+(0,20155)2+(0,36262)2=0,42153+0,00113+0,26328+0,07053+0,04123+0,13149=0,92919<1,
и
норма матрицы
.
Для достижения требуемой точности приближение решения нужно находить до тех пор, пока будет выполняться неравенство (2.13) , где
- расстояние между двумя последними
соседними приближениями в смысле
используемой метрики.Программа решения рассмотренной системы (с использованием евклидовой метрики (2.11)) приведена в Приложении (см. Приложение 2, программа №3)
Метод Зейделя
Метод Зейделя является модификацией метода Якоби.
Основная
идея метода
заключается в том, что на каждом шаге
итерационного процесса при вычислении
значения
используются найденные на этом же шаге
значения
,
,
…,
:
.
Если для матрицы коэффициентов системы (2.4) выполняется хотя бы одно из условий (2.6) – (2.8), то итерационный процесс метода Гаусса сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения. Преимущество метода Зейделя заключается в том, что он обычно обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
2. Лабораторная работа №2 «Решение систем линейных уравнений»
Задания
Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Указать точность решения.
Примечание. Для расчетов можно использовать программу №3 (на языке QBasic) из Приложения 3.
Варианты |
i |
ai1 |
ai2 |
ai3 |
bi |
1 |
1 |
0,21 |
-0,45 |
-0,20 |
1,91 |
2 |
0,30 |
0,25 |
0,43 |
0,32 |
|
3 |
0,60 |
-0,35 |
-0,25 |
1,83 |
|
2 |
1 |
-3 |
0,5 |
0,5 |
-56,5 |
2 |
0,5 |
-6 |
0,5 |
-100 |
|
3 |
0,5 |
0,5 |
-3 |
-210 |
|
3 |
1 |
0,45 |
-0,94 |
-0,15 |
-0,15 |
2 |
-0,01 |
0,34 |
0,06 |
0,31 |
|
3 |
-0,35 |
0,05 |
0,63 |
0,37 |
|
4 |
1 |
0,63 |
0,05 |
0,15 |
0,34 |
2 |
0,15 |
0,10 |
0,71 |
0,42 |
|
3 |
0,03 |
0,34 |
0,10 |
0,32 |
|
5 |
1 |
-0,20 |
1,60 |
-0,10 |
0,30 |
2 |
-0,30 |
0.10 |
-1,50 |
0,40 |
|
3 |
1,20 |
-0,20 |
0,30 |
-0,60 |
|
6 |
1 |
0,30 |
1,20 |
-0,20 |
-0,60 |
2 |
-0,10 |
-0,20 |
1,60 |
0,30 |
|
3 |
0,05 |
0,34 |
0,10 |
0,32 |
|
7 |
1 |
0,20 |
0,44 |
0,81 |
0,74 |
2 |
0,58 |
-0,29 |
0,05 |
0,02 |
|
3 |
0,05 |
0,34 |
0,10 |
0,32 |
|
8 |
1 |
6,36 |
11,75 |
10,00 |
-41,40 |
2 |
7,42 |
19,03 |
11,75 |
-49,49 |
|
3 |
5,77 |
7,48 |
6,36 |
-27,67 |
|
9 |
1 |
-9,11 |
1,02 |
-0,73 |
-1,25 |
2 |
7,61 |
6,25 |
-2,32 |
2,33 |
|
3 |
-4,64 |
1,13 |
-8,88 |
-3,75 |
|
10 |
1 |
1,02 |
-0,73 |
-9,11 |
-1,25 |
2 |
6,25 |
-2,32 |
7,62 |
2,33 |
|
3 |
1,13 |
-8,88 |
4,64 |
-3,75 |
|
11 |
1 |
0,06 |
0,92 |
0,03 |
-0,82 |
2 |
0,99 |
0,01 |
0,07 |
0,66 |
|
3 |
1,01 |
0,02 |
0,99 |
-0,98 |
|
12 |
1 |
0,10 |
-0,07 |
-0,96 |
-2,04 |
2 |
0,04 |
-0,99 |
-0,85 |
-3,73 |
|
3 |
0,91 |
1,04 |
0,19 |
-1,67 |
|
13 |
1 |
0,62 |
0,81 |
0,77 |
-8,18 |
2 |
0,03 |
-1,11 |
-1,08 |
0,08 |
|
3 |
0,97 |
0,02 |
-1,08 |
0,06 |
|
14 |
1 |
0,63 |
-0,37 |
1,76 |
-9,29 |
2 |
0,90 |
0,99 |
0,05 |
0,12 |
|
3 |
0,13 |
-0,95 |
0,69 |
0,69 |
|
15 |
1 |
0,98 |
0,88 |
-0,24 |
1,36 |
2 |
0,16 |
-0,44 |
-0,88 |
-1,27 |
|
3 |
9,74 |
-10,00 |
1,71 |
-5,31 |
|
16 |
1 |
2,7 |
3,3 |
1,3 |
2,1 |
2 |
3,5 |
-1,7 |
2,8 |
1,7 |
|
3 |
4,1 |
5,8 |
-1,7 |
0,8 |
|
17 |
1 |
1,7 |
2,8 |
1,9 |
0,7 |
2 |
2,1 |
3,4 |
1,8 |
1,1 |
|
3 |
4,2 |
-1,7 |
1,3 |
2,8 |
|
18 |
1 |
9,1 |
5,6 |
7,8 |
9,8 |
2 |
3,8 |
5,1 |
2,8 |
6,7 |
|
3 |
4,1 |
5,7 |
1,2 |
5,8 |
|
19 |
1 |
2,7 |
0,9 |
-1,5 |
3,5 |
2 |
4,5 |
-2,8 |
6,7 |
2,6 |
|
3 |
5,1 |
3,7 |
-1,4 |
-0,14 |
|
20 |
1 |
5,4 |
-6,2 |
-0,5 |
0,52 |
2 |
3,4 |
2,3 |
0,8 |
-0,8 |
|
3 |
2,4 |
-1,1 |
3,8 |
1,8 |
|
21 |
1 |
7,8 |
5,3 |
4,8 |
1,8 |
2 |
3,3 |
1,1 |
1,8 |
2,3 |
|
3 |
4,5 |
3,3 |
2,8 |
3,4 |
|
22 |
1 |
1,7 |
-2,2 |
3,0 |
1,8 |
2 |
2,1 |
1,9 |
-2,3 |
2,8 |
|
3 |
4,2 |
3,9 |
-3,1 |
5,1 |
|
23 |
1 |
1,5 |
2,3 |
-3,7 |
4,5 |
2 |
2,8 |
3,4 |
5,8 |
-3,2 |
|
3 |
1,2 |
7,3 |
-2,3 |
5,6 |
|
24 |
1 |
0,9 |
2,7 |
-3,8 |
2,4 |
2 |
2,5 |
5,8 |
-0,5 |
3,5 |
|
3 |
4,5 |
-2,1 |
3,2 |
-1,2 |
|
25 |
1 |
3,2 |
-11,5 |
3,8 |
5,5 |
2 |
0,8 |
1,3 |
-6,4 |
-6,5 |
|
3 |
2,4 |
7,2 |
-1,2 |
4,5 |