Решение:

Сечение имеет две оси симметрии. Эти оси и являются главными центральными осями. Разбиваем сечение на три простые фигуры – прямоугольник и два вырезанных из него квадрата. Ось x является главной центральной осью для всех фигур. А ось y параллельна главным центральным осям квадратов.

Моменты инерции квадратов относительно собственных главных центральных осей: , площадь квадрата A_кв = b².

Моменты инерции прямоугольника:

Расстояние между центром тяжести квадрата и центром тяжести прямоугольника равно b.

Тогда моменты инерции сечения:

,

.

При нахождении момента инерции относительно оси y использовали формулу перехода к параллельным осям (2.2).

3. Кручение валов кругового сечения

Кручение возникает при приложении к стержню моментов (пар сил), расположенных в плоскости перпендикулярной оси стержня. Стержень, работающий на кручение, называют валом. При таком нагружении в поперечном сечении вала отлично от нуля только одно внутреннее усилие – крутящий момент M_z.

Правило знаков

Рис. 3.1

Касательное напряжение при кручении определяется по формуле

, (3.1)

где I_p – полярный момент инерции, ρ – расстояние от начала координат до точки, в которой нужно определить напряжение.

Полярные момента инерции:

для круга : (3.2)

для кольца: , (3.3)

где r, d – радиус и диаметр круга, R – внешний радиус кольца, D – внешний диаметр кольца, α – отношение внутреннего радиуса кольца к внешнему.

Условие прочности при кручении: , (3.4)

где W_p – полярный момент сопротивления:

для круга . (3.5)

для кольца . (3.6)

Угол закручивания: , где l – расстояние между сечениями, для которых определяется угол поворота.

Если , то

. (3.7)

Условие жесткости: , (3.8)

где [θ] – удельный допускаемый угол закручивания, измеряемый в рад/м, [φ] – удельный допускаемый угол закручивания, измеряемый в град/м

1. Построение эпюр крутящего момента

Пример 3.1

Вал (рис. 3.2) загружен моментами M₁ = 24кНм, M₂ = 40кНм, M₃ = 28кНм. Требуется построить эпюру крутящих моментов.

Решение:

1. Определим реакцию в заделке.

Так как на вал действуют только крутящие моменты, расположенные в плоскостях перпендикулярных оси стержня, то будет только одно уравнение равновесия – сумма моментов относительно оси вала.

M₀ + M₃ – M₂ + M₁ = 0; M₀ = - M₃ + M₂ – M₁ = -24 + 40 – 28 = - 12кНм

Рис. 3.2

2. Построим эпюру моментов.

Вал имеет три грузовых участка. Методом сечений определим крутящие моменты на каждом из участков. Начнем со свободного конца. Проводим сечение на расстоянии z₁ от правого конца. Рассматриваем правую отсеченную часть. Показываем в проведенном сечении внутреннее усилие, положительное согласно правилу знаков (рис. 3.1), составляем уравнение равновесия.

I участок: 0 ≤ z1 ≤ c Mz1 = M1 = 24кНм

Проводим сечение в пределах второго грузового участка – на расстоянии z₂ от правого конца вала, рассматриваем правую отсеченную часть.

II участок: c ≤ z2 ≤ c+b Mz2 = M1 – M2 = 24 – 40 = -16кНм

Проводим сечение в пределах третьего грузового участка – на расстоянии z₃ от правого конца вала, рассматриваем правую отсеченную часть.

III участок: c+b ≤ z3 ≤ c+b+a Mz2 = M1 – M2 + M3= 24 – 40 + 28= 12кНм

Функции крутящих моментов на каждом из участков представляют собой постоянную величину. Эпюра моментов изображена на рисунке 3.2.

3. Проверка: в сечениях, где приложены внешние сосредоточенные моменты, на эпюре крутящего момента должны быть скачки на величину этих моментов.

Пример 3.2

Вал загружен моментами M₁ = 16кНм, M₂ = 18кНм, M₃ = 30кНм (рис. 3.3). Требуется построить эпюру крутящих моментов. Опорные подшипники не препятствуют повороту вала относительно оси, трением в них пренебрегаем.