2. Принцип максимуму Понтрягіна. Стійкість лінійних систем. Методи аналізу стійкості лінійних об'єктів і систем. Статистичні методи дослідження лінійних систем.

У ряді практичних завдань на безліч управлінь накладаються деякі істотні обмеження у вигляді нерівностей. Вирішення таких завдань дає принцип максимуму - математичний метод, розроблений Понтрягиним і його учнями.

Поведінка математичної моделі ОУ описується звичайним диференціальним рівнянням, у векторній формі, яке має вигляд:

(4.1)

або в скалярній формі

,

(4.2)

де  - вектор стану,

 - вектор управління,

t – час ,

   - інтервал часу функціонування системи,

; n - мірний евклідово простір, елементами служать вектори;

;  - безліч допустимих значень управління;

- безперервна разом зі своїми приватними похідними векторна функція.

Момент початку процесу  заданий, а момент закінчення процесу  визначається першим моментом досягнення крапкою (x, t) якійсь заданій гіперповерхні , тобто в момент   .

Початкова умова  задає початковий стан процесу в просторі .

Передбачається, що при управлінні використовується інформація тільки про поточний час, тобто система управління є розімкненою і має програмне управління.

Малюнок 4.1 - Структурна схема процесу управління

 Безліч допустимих управлінь  утворює кусочно-безперервні функції u(t) із значеннями в області .

Тема 3. Нелінійні системи.

1. Основні поняття і визначення . Нелінійні динамічні системи.

2. Метод фазової площини . Метод гармонійної лінеаризації . Якісна теорія рішення нелінійних диференціальних рівнянь.

3. Аналіз нелінійних об'єктів і систем керування; стійкість нелінійних систем.

1. Основні поняття і визначення . Нелінійні динамічні системи.

Віднесення системи до лінійної або нелінійної грунтується на властивостях математичної моделі (оператора еволюції) ДС. Якщо математична модель володіє властивістю суперпозиції, то дана система лінійна, Інакше вона є нелінійною. Нагадаємо, що принципу суперпозиції відповідає математичний запис, в якому присутньо тільки дві операції: складання (віднімання) і множення на постійне число. Наявність в математичній моделі операцій множення і ділення змінних, поліноміальних і трансцендентних функцій указує на нелінійність. Відмітимо, що лінійні моделі - є окремий випадок нелінійних і справедливі в певній області простору станів. Такий «лінеарізационний» підхід, що полягає в спрощенні математичного опису, достатньо поширений. Це зв'язано, перш за все, з тим, що теорія лінійних ДС досягла певної стадії завершеності і формалізації. Наприклад, щоб вирішити систему лінійних диференціальних рівнянь, досить пригадати курс математичного аналізу.

Використання лінійних або квазілінійних наближень достатнє принадно, оскільки дає можливість застосувати перевірені методики і гарантує швидке отримання результату. З іншого боку, чи не буде цей результат «пірровою перемогою»? Чи не опиниться дослідник, що вибрав простий шлях, в ролі риби, що плаваючої на глибині ставка і не здогадується, що зовні йде дощ?

Практично всі системи управління, строго кажучи, є нелінійними, тобто описуються нелінійними рівняннями. Лінійні системи управління є їх лінійними моделями, які виходять шляхом звичайної лінеаризації - лінеаризації, що полягає в розкладанні нелінійних функцій в ряд Тейлора і відкиданні нелінійних доданків. Проте така лінеаризація не завжди можлива. Якщо нелінійність допускає звичайну лінеаризацію, то така нелінійність називається неістотною. Інакше нелінійність називається істотною. Істотними нелінейностямі володіють всякого роду релейні елементи. Навіть у тих випадках, коли звичайна лінеаризація можлива, часто на кінцевому етапі дослідження може потрібно розгляд початкової нелінійної моделі.

Нелінійні системи в порівнянні з лінійними володіють поряд принципових особливостей. Зокрема, такими особливостями є наступне:

- не виконується принцип суперпозиції, і дослідження нелінійної системи при декількох діях не можна зводити до дослідження при одній дії;

- стійкість і характер перехідного процесу залежать від величини початкового відхилення від положення рівноваги;

- при фіксованих зовнішніх діях можливі декілька (а іноді і нескінченна множина) положень рівноваги;

- виникають вільні сталі процеси, які в лінійних системах неможливі (наприклад, автоколивання).

Універсальних аналітичних (математичних) методів дослідження нелінійних систем немає. В процесі розвитку теорії автоматичного управління були розроблені різні математичні методи аналізу і синтезу нелінійних систем, кожен з яких застосовний для певного класу систем і завдань. Найбільш широко використовуваними методами дослідження нелінійних систем є:

- метод фазової площини;

- метод функцій Ляпунова;

- метод гармонійної лінеаризації (метод гармонійного балансу) ;

- методи дослідження абсолютної стійкості.